Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 248 / 250
↖ ↑ ↗
← N 79.367701°
W136.406250°		 ← 3 606.34 m → N 79.367701°
W136.230469°		 →
↑
3 611.78 m
↓
↑
3 611.78 m
↓
N 79.335219°
W136.406250°		 ← 3 617.23 m →
13 044 979 m²		 N 79.335219°
W136.230469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.121337890625 y=0.122314453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.121337890625 × 211)
    floor (0.121337890625 × 2048)
    floor (248.5)     		tx = 248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122314453125 × 211)
    floor (0.122314453125 × 2048)
    floor (250.5)     		ty = 250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 248 / 250 ti = "11/248/250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/248/250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 248 ÷ 211
    248 ÷ 2048     		x = 0.12109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 250 ÷ 211
    250 ÷ 2048     		y = 0.1220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12109375 × 2 - 1) × π
    -0.7578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.38073818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1220703125 × 2 - 1) × π
    0.755859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.3746022595791
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.38073818} λ = -2.38073818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3746022595791))-π/2
    2×atan(10.7467379238453)-π/2
    2×1.47801201254494-π/2
    2.95602402508987-1.57079632675     		φ = 1.38522770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.38073818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38522770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.367701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 248 KachelY 250 -2.38073818 1.38522770 -136.406250 79.367701
    Oben rechts KachelX + 1 249 KachelY 250 -2.37767022 1.38522770 -136.230469 79.367701
    Unten links KachelX 248 KachelY + 1 251 -2.38073818 1.38466079 -136.406250 79.335219
    Unten rechts KachelX + 1 249 KachelY + 1 251 -2.37767022 1.38466079 -136.230469 79.335219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38522770-1.38466079) × R
    0.000566909999999865 × 6371000     		dl = 3611.78360999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38522770-1.38466079) × R
    0.000566909999999865 × 6371000     		dr = 3611.78360999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.38073818--2.37767022) × cos(1.38522770) × R
    0.00306795999999965 × 0.184505427649398 × 6371000     		do = 3606.33813670903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.38073818--2.37767022) × cos(1.38466079) × R
    0.00306795999999965 × 0.185062574973451 × 6371000     		du = 3617.22812335115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38522770)-sin(1.38466079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184505427649398-0.185062574973451)×R²
    abs(-2.37767022--2.38073818)×0.000557147324053847×R²
    0.00306795999999965×0.000557147324053847×6371000²
    0.00306795999999965×0.000557147324053847×40589641000000     		ar = 13044979.4612998m²