Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24799 / 40930
↖ ↑ ↗
← S 40.855370°
W 43.775025°		 ← 462.03 m → S 40.855370°
W 43.769531°		 →
↑
462.02 m
↓
↑
462.02 m
↓
S 40.859525°
W 43.775025°		 ← 462 m →
213 461 m²		 S 40.859525°
W 43.769531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378410339355469 y=0.624549865722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378410339355469 × 216)
    floor (0.378410339355469 × 65536)
    floor (24799.5)     		tx = 24799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624549865722656 × 216)
    floor (0.624549865722656 × 65536)
    floor (40930.5)     		ty = 40930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24799 / 40930 ti = "16/24799/40930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24799/40930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24799 ÷ 216
    24799 ÷ 65536     		x = 0.378402709960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40930 ÷ 216
    40930 ÷ 65536     		y = 0.624542236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378402709960938 × 2 - 1) × π
    -0.243194580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.76401831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624542236328125 × 2 - 1) × π
    -0.24908447265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.782521949397797
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76401831} λ = -0.76401831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.782521949397797))-π/2
    2×atan(0.457251391099902)-π/2
    2×0.428867796953728-π/2
    0.857735593907456-1.57079632675     		φ = -0.71306073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76401831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.775025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71306073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.855370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24799 KachelY 40930 -0.76401831 -0.71306073 -43.775025 -40.855370
    Oben rechts KachelX + 1 24800 KachelY 40930 -0.76392243 -0.71306073 -43.769531 -40.855370
    Unten links KachelX 24799 KachelY + 1 40931 -0.76401831 -0.71313325 -43.775025 -40.859525
    Unten rechts KachelX + 1 24800 KachelY + 1 40931 -0.76392243 -0.71313325 -43.769531 -40.859525
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71306073--0.71313325) × R
    7.25200000000203e-05 × 6371000     		dl = 462.02492000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71306073--0.71313325) × R
    7.25200000000203e-05 × 6371000     		dr = 462.02492000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76401831--0.76392243) × cos(-0.71306073) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.756363239737458 × 6371000     		do = 462.025604410918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76401831--0.76392243) × cos(-0.71313325) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.756315798656051 × 6371000     		du = 461.996624956128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71306073)-sin(-0.71313325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756363239737458-0.756315798656051)×R²
    abs(-0.76392243--0.76401831)×4.74410814067516e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.74410814067516e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.74410814067516e-05×40589641000000     		ar = 213460.648394531m²