Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24799 / 40235
↖ ↑ ↗
← S 37.905199°
W 43.775025°		 ← 481.98 m → S 37.905199°
W 43.769531°		 →
↑
481.97 m
↓
↑
481.97 m
↓
S 37.909534°
W 43.775025°		 ← 481.95 m →
232 291 m²		 S 37.909534°
W 43.769531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378410339355469 y=0.613945007324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378410339355469 × 216)
    floor (0.378410339355469 × 65536)
    floor (24799.5)     		tx = 24799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.613945007324219 × 216)
    floor (0.613945007324219 × 65536)
    floor (40235.5)     		ty = 40235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24799 / 40235 ti = "16/24799/40235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24799/40235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24799 ÷ 216
    24799 ÷ 65536     		x = 0.378402709960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40235 ÷ 216
    40235 ÷ 65536     		y = 0.613937377929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378402709960938 × 2 - 1) × π
    -0.243194580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.76401831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.613937377929688 × 2 - 1) × π
    -0.227874755859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.715889658925919
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76401831} λ = -0.76401831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.715889658925919))-π/2
    2×atan(0.488757091206251)-π/2
    2×0.454612896109691-π/2
    0.909225792219382-1.57079632675     		φ = -0.66157053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76401831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.775025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66157053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.905199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24799 KachelY 40235 -0.76401831 -0.66157053 -43.775025 -37.905199
    Oben rechts KachelX + 1 24800 KachelY 40235 -0.76392243 -0.66157053 -43.769531 -37.905199
    Unten links KachelX 24799 KachelY + 1 40236 -0.76401831 -0.66164618 -43.775025 -37.909534
    Unten rechts KachelX + 1 24800 KachelY + 1 40236 -0.76392243 -0.66164618 -43.769531 -37.909534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66157053--0.66164618) × R
    7.56499999999827e-05 × 6371000     		dl = 481.96614999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66157053--0.66164618) × R
    7.56499999999827e-05 × 6371000     		dr = 481.96614999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76401831--0.76392243) × cos(-0.66157053) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.789028339200496 × 6371000     		do = 481.979128762249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76401831--0.76392243) × cos(-0.66164618) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.788981860850709 × 6371000     		du = 481.950737393494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66157053)-sin(-0.66164618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.789028339200496-0.788981860850709)×R²
    abs(-0.76392243--0.76401831)×4.64783497871046e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.64783497871046e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.64783497871046e-05×40589641000000     		ar = 232290.783341108m²