Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24797 / 41393
↖ ↑ ↗
← S 42.751046°
W 43.786011°		 ← 448.51 m → S 42.751046°
W 43.780518°		 →
↑
448.52 m
↓
↑
448.52 m
↓
S 42.755080°
W 43.786011°		 ← 448.48 m →
201 157 m²		 S 42.755080°
W 43.780518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24797 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378379821777344 y=0.631614685058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378379821777344 × 216)
    floor (0.378379821777344 × 65536)
    floor (24797.5)     		tx = 24797
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631614685058594 × 216)
    floor (0.631614685058594 × 65536)
    floor (41393.5)     		ty = 41393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24797 / 41393 ti = "16/24797/41393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24797/41393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24797 ÷ 216
    24797 ÷ 65536     		x = 0.378372192382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41393 ÷ 216
    41393 ÷ 65536     		y = 0.631607055664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378372192382812 × 2 - 1) × π
    -0.243255615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76421005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631607055664062 × 2 - 1) × π
    -0.263214111328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.826911518445969
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76421005} λ = -0.76421005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.826911518445969))-π/2
    2×atan(0.437398098317311)-π/2
    2×0.41232490780427-π/2
    0.824649815608539-1.57079632675     		φ = -0.74614651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76421005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.786011°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74614651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.751046°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24797 KachelY 41393 -0.76421005 -0.74614651 -43.786011 -42.751046
    Oben rechts KachelX + 1 24798 KachelY 41393 -0.76411418 -0.74614651 -43.780518 -42.751046
    Unten links KachelX 24797 KachelY + 1 41394 -0.76421005 -0.74621691 -43.786011 -42.755080
    Unten rechts KachelX + 1 24798 KachelY + 1 41394 -0.76411418 -0.74621691 -43.780518 -42.755080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74614651--0.74621691) × R
    7.0400000000026e-05 × 6371000     		dl = 448.518400000166m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74614651--0.74621691) × R
    7.0400000000026e-05 × 6371000     		dr = 448.518400000166m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76421005--0.76411418) × cos(-0.74614651) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.734310117960204 × 6371000     		do = 448.50763943734m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76421005--0.76411418) × cos(-0.74621691) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.734262327624382 × 6371000     		du = 448.478449684696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74614651)-sin(-0.74621691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734310117960204-0.734262327624382)×R²
    abs(-0.76411418--0.76421005)×4.77903358215848e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77903358215848e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77903358215848e-05×40589641000000     		ar = 201157.38284077m²