Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24796 / 41388
↖ ↑ ↗
← S 42.730874°
W 43.791504°		 ← 448.70 m → S 42.730874°
W 43.786011°		 →
↑
448.65 m
↓
↑
448.65 m
↓
S 42.734909°
W 43.791504°		 ← 448.67 m →
201 301 m²		 S 42.734909°
W 43.786011°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24796 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378364562988281 y=0.631538391113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378364562988281 × 216)
    floor (0.378364562988281 × 65536)
    floor (24796.5)     		tx = 24796
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631538391113281 × 216)
    floor (0.631538391113281 × 65536)
    floor (41388.5)     		ty = 41388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24796 / 41388 ti = "16/24796/41388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24796/41388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24796 ÷ 216
    24796 ÷ 65536     		x = 0.37835693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41388 ÷ 216
    41388 ÷ 65536     		y = 0.63153076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37835693359375 × 2 - 1) × π
    -0.2432861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.76430593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63153076171875 × 2 - 1) × π
    -0.2630615234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.826432149449768
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76430593} λ = -0.76430593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.826432149449768))-π/2
    2×atan(0.437607823668541)-π/2
    2×0.412500939191484-π/2
    0.825001878382968-1.57079632675     		φ = -0.74579445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76430593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.791504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74579445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.730874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24796 KachelY 41388 -0.76430593 -0.74579445 -43.791504 -42.730874
    Oben rechts KachelX + 1 24797 KachelY 41388 -0.76421005 -0.74579445 -43.786011 -42.730874
    Unten links KachelX 24796 KachelY + 1 41389 -0.76430593 -0.74586487 -43.791504 -42.734909
    Unten rechts KachelX + 1 24797 KachelY + 1 41389 -0.76421005 -0.74586487 -43.786011 -42.734909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74579445--0.74586487) × R
    7.04200000000155e-05 × 6371000     		dl = 448.645820000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74579445--0.74586487) × R
    7.04200000000155e-05 × 6371000     		dr = 448.645820000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76430593--0.76421005) × cos(-0.74579445) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.734549055757535 × 6371000     		do = 448.700377842318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76430593--0.76421005) × cos(-0.74586487) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.73450127005183 × 6371000     		du = 448.671187873266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74579445)-sin(-0.74586487))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734549055757535-0.73450127005183)×R²
    abs(-0.76421005--0.76430593)×4.77857057047393e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.77857057047393e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.77857057047393e-05×40589641000000     		ar = 201301.001055443m²