Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24792 / 40920
↖ ↑ ↗
← S 40.813809°
W 43.813476°		 ← 462.27 m → S 40.813809°
W 43.807983°		 →
↑
462.28 m
↓
↑
462.28 m
↓
S 40.817967°
W 43.813476°		 ← 462.24 m →
213 690 m²		 S 40.817967°
W 43.807983°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378303527832031 y=0.624397277832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378303527832031 × 216)
    floor (0.378303527832031 × 65536)
    floor (24792.5)     		tx = 24792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624397277832031 × 216)
    floor (0.624397277832031 × 65536)
    floor (40920.5)     		ty = 40920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24792 / 40920 ti = "16/24792/40920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24792/40920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24792 ÷ 216
    24792 ÷ 65536     		x = 0.3782958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40920 ÷ 216
    40920 ÷ 65536     		y = 0.6243896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3782958984375 × 2 - 1) × π
    -0.243408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.76468942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6243896484375 × 2 - 1) × π
    -0.248779296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.781563211405396
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76468942} λ = -0.76468942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.781563211405396))-π/2
    2×atan(0.457689985595636)-π/2
    2×0.429230487728755-π/2
    0.85846097545751-1.57079632675     		φ = -0.71233535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76468942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.813476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71233535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.813809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24792 KachelY 40920 -0.76468942 -0.71233535 -43.813476 -40.813809
    Oben rechts KachelX + 1 24793 KachelY 40920 -0.76459355 -0.71233535 -43.807983 -40.813809
    Unten links KachelX 24792 KachelY + 1 40921 -0.76468942 -0.71240791 -43.813476 -40.817967
    Unten rechts KachelX + 1 24793 KachelY + 1 40921 -0.76459355 -0.71240791 -43.807983 -40.817967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71233535--0.71240791) × R
    7.25599999999993e-05 × 6371000     		dl = 462.279759999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71233535--0.71240791) × R
    7.25599999999993e-05 × 6371000     		dr = 462.279759999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76468942--0.76459355) × cos(-0.71233535) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.756837549378384 × 6371000     		do = 462.267119037078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76468942--0.76459355) × cos(-0.71240791) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.756790121950043 × 6371000     		du = 462.238150943885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71233535)-sin(-0.71240791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756837549378384-0.756790121950043)×R²
    abs(-0.76459355--0.76468942)×4.74274283404075e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74274283404075e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74274283404075e-05×40589641000000     		ar = 213690.037256304m²