Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24790 / 40222
↖ ↑ ↗
← S 37.848833°
W 43.824463°		 ← 482.30 m → S 37.848833°
W 43.818970°		 →
↑
482.28 m
↓
↑
482.28 m
↓
S 37.853170°
W 43.824463°		 ← 482.27 m →
232 598 m²		 S 37.853170°
W 43.818970°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378273010253906 y=0.613746643066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378273010253906 × 216)
    floor (0.378273010253906 × 65536)
    floor (24790.5)     		tx = 24790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.613746643066406 × 216)
    floor (0.613746643066406 × 65536)
    floor (40222.5)     		ty = 40222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24790 / 40222 ti = "16/24790/40222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24790/40222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24790 ÷ 216
    24790 ÷ 65536     		x = 0.378265380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40222 ÷ 216
    40222 ÷ 65536     		y = 0.613739013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378265380859375 × 2 - 1) × π
    -0.24346923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.76488117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.613739013671875 × 2 - 1) × π
    -0.22747802734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.714643299535797
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76488117} λ = -0.76488117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.714643299535797))-π/2
    2×atan(0.489366637974628)-π/2
    2×0.455104790768598-π/2
    0.910209581537196-1.57079632675     		φ = -0.66058675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76488117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.824463°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66058675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.848833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24790 KachelY 40222 -0.76488117 -0.66058675 -43.824463 -37.848833
    Oben rechts KachelX + 1 24791 KachelY 40222 -0.76478530 -0.66058675 -43.818970 -37.848833
    Unten links KachelX 24790 KachelY + 1 40223 -0.76488117 -0.66066245 -43.824463 -37.853170
    Unten rechts KachelX + 1 24791 KachelY + 1 40223 -0.76478530 -0.66066245 -43.818970 -37.853170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66058675--0.66066245) × R
    7.57000000000119e-05 × 6371000     		dl = 482.284700000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66058675--0.66066245) × R
    7.57000000000119e-05 × 6371000     		dr = 482.284700000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76488117--0.76478530) × cos(-0.66058675) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.789632349217606 × 6371000     		do = 482.297781698472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76488117--0.76478530) × cos(-0.66066245) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.789585898928392 × 6371000     		du = 482.269410429907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66058675)-sin(-0.66066245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.789632349217606-0.789585898928392)×R²
    abs(-0.76478530--0.76488117)×4.64502892139063e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.64502892139063e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.64502892139063e-05×40589641000000     		ar = 232597.999553663m²