Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24789 / 41021
↖ ↑ ↗
← S 41.232380°
W 43.829956°		 ← 459.34 m → S 41.232380°
W 43.824463°		 →
↑
459.35 m
↓
↑
459.35 m
↓
S 41.236511°
W 43.829956°		 ← 459.31 m →
210 990 m²		 S 41.236511°
W 43.824463°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378257751464844 y=0.625938415527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378257751464844 × 216)
    floor (0.378257751464844 × 65536)
    floor (24789.5)     		tx = 24789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625938415527344 × 216)
    floor (0.625938415527344 × 65536)
    floor (41021.5)     		ty = 41021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24789 / 41021 ti = "16/24789/41021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24789/41021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24789 ÷ 216
    24789 ÷ 65536     		x = 0.378250122070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41021 ÷ 216
    41021 ÷ 65536     		y = 0.625930786132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378250122070312 × 2 - 1) × π
    -0.243499755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76497704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625930786132812 × 2 - 1) × π
    -0.251861572265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.791246465128647
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76497704} λ = -0.76497704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.791246465128647))-π/2
    2×atan(0.453279445988506)-π/2
    2×0.425577766605811-π/2
    0.851155533211622-1.57079632675     		φ = -0.71964079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76497704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.829956°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71964079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.232380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24789 KachelY 41021 -0.76497704 -0.71964079 -43.829956 -41.232380
    Oben rechts KachelX + 1 24790 KachelY 41021 -0.76488117 -0.71964079 -43.824463 -41.232380
    Unten links KachelX 24789 KachelY + 1 41022 -0.76497704 -0.71971289 -43.829956 -41.236511
    Unten rechts KachelX + 1 24790 KachelY + 1 41022 -0.76488117 -0.71971289 -43.824463 -41.236511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71964079--0.71971289) × R
    7.21000000000194e-05 × 6371000     		dl = 459.349100000123m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71964079--0.71971289) × R
    7.21000000000194e-05 × 6371000     		dr = 459.349100000123m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76497704--0.76488117) × cos(-0.71964079) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.752042538200388 × 6371000     		do = 459.338384852545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76497704--0.76488117) × cos(-0.71971289) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.751995014084982 × 6371000     		du = 459.309357704075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71964079)-sin(-0.71971289))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.752042538200388-0.751995014084982)×R²
    abs(-0.76488117--0.76497704)×4.75241154065387e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75241154065387e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75241154065387e-05×40589641000000     		ar = 210990.006971925m²