Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24789 / 25120
↖ ↑ ↗
← S 68.784144°
E 92.340088°		 ← 442.07 m → S 68.784144°
E 92.351074°		 →
↑
442.08 m
↓
↑
442.08 m
↓
S 68.788119°
E 92.340088°		 ← 441.99 m →
195 413 m²		 S 68.788119°
E 92.351074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.756515502929688 y=0.766616821289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.756515502929688 × 215)
    floor (0.756515502929688 × 32768)
    floor (24789.5)     		tx = 24789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766616821289062 × 215)
    floor (0.766616821289062 × 32768)
    floor (25120.5)     		ty = 25120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24789 / 25120 ti = "15/24789/25120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24789/25120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24789 ÷ 215
    24789 ÷ 32768     		x = 0.756500244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25120 ÷ 215
    25120 ÷ 32768     		y = 0.7666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.756500244140625 × 2 - 1) × π
    0.51300048828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.61163857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7666015625 × 2 - 1) × π
    -0.533203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.67510702032324
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.61163857} λ = 1.61163857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67510702032324))-π/2
    2×atan(0.187288134772658)-π/2
    2×0.1851432723394-π/2
    0.370286544678801-1.57079632675     		φ = -1.20050978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.61163857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.340088°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20050978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.784144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24789 KachelY 25120 1.61163857 -1.20050978 92.340088 -68.784144
    Oben rechts KachelX + 1 24790 KachelY 25120 1.61183031 -1.20050978 92.351074 -68.784144
    Unten links KachelX 24789 KachelY + 1 25121 1.61163857 -1.20057917 92.340088 -68.788119
    Unten rechts KachelX + 1 24790 KachelY + 1 25121 1.61183031 -1.20057917 92.351074 -68.788119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20050978--1.20057917) × R
    6.9389999999947e-05 × 6371000     		dl = 442.083689999662m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20050978--1.20057917) × R
    6.9389999999947e-05 × 6371000     		dr = 442.083689999662m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.61163857-1.61183031) × cos(-1.20050978) × R
    0.000191739999999996 × 0.361882572528031 × 6371000     		do = 442.066898952509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.61163857-1.61183031) × cos(-1.20057917) × R
    0.000191739999999996 × 0.361817884655174 × 6371000     		du = 441.987877829293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20050978)-sin(-1.20057917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361882572528031-0.361817884655174)×R²
    abs(1.61183031-1.61163857)×6.46878728570721e-05×R²
    0.000191739999999996×6.46878728570721e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.46878728570721e-05×40589641000000     		ar = 195413.09901937m²