Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24787 / 40226
↖ ↑ ↗
← S 37.866181°
W 43.840942°		 ← 482.18 m → S 37.866181°
W 43.835449°		 →
↑
482.16 m
↓
↑
482.16 m
↓
S 37.870517°
W 43.840942°		 ← 482.16 m →
232 482 m²		 S 37.870517°
W 43.835449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378227233886719 y=0.613807678222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378227233886719 × 216)
    floor (0.378227233886719 × 65536)
    floor (24787.5)     		tx = 24787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.613807678222656 × 216)
    floor (0.613807678222656 × 65536)
    floor (40226.5)     		ty = 40226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24787 / 40226 ti = "16/24787/40226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24787/40226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24787 ÷ 216
    24787 ÷ 65536     		x = 0.378219604492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40226 ÷ 216
    40226 ÷ 65536     		y = 0.613800048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378219604492188 × 2 - 1) × π
    -0.243560791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76516879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.613800048828125 × 2 - 1) × π
    -0.22760009765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.715026794732758
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76516879} λ = -0.76516879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.715026794732758))-π/2
    2×atan(0.489179004200037)-π/2
    2×0.454953398476096-π/2
    0.909906796952192-1.57079632675     		φ = -0.66088953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76516879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.840942°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66088953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.866181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24787 KachelY 40226 -0.76516879 -0.66088953 -43.840942 -37.866181
    Oben rechts KachelX + 1 24788 KachelY 40226 -0.76507292 -0.66088953 -43.835449 -37.866181
    Unten links KachelX 24787 KachelY + 1 40227 -0.76516879 -0.66096521 -43.840942 -37.870517
    Unten rechts KachelX + 1 24788 KachelY + 1 40227 -0.76507292 -0.66096521 -43.835449 -37.870517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66088953--0.66096521) × R
    7.56800000000224e-05 × 6371000     		dl = 482.157280000143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66088953--0.66096521) × R
    7.56800000000224e-05 × 6371000     		dr = 482.157280000143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76516879--0.76507292) × cos(-0.66088953) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.789446533189917 × 6371000     		do = 482.18428754129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76516879--0.76507292) × cos(-0.66096521) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.789400077082221 × 6371000     		du = 482.155912718867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66088953)-sin(-0.66096521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.789446533189917-0.789400077082221)×R²
    abs(-0.76507292--0.76516879)×4.64561076960468e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.64561076960468e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.64561076960468e-05×40589641000000     		ar = 232481.82408702m²