Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24787 / 40217
↖ ↑ ↗
← S 37.827141°
W 43.840942°		 ← 482.44 m → S 37.827141°
W 43.835449°		 →
↑
482.48 m
↓
↑
482.48 m
↓
S 37.831480°
W 43.840942°		 ← 482.41 m →
232 759 m²		 S 37.831480°
W 43.835449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378227233886719 y=0.613670349121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378227233886719 × 216)
    floor (0.378227233886719 × 65536)
    floor (24787.5)     		tx = 24787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.613670349121094 × 216)
    floor (0.613670349121094 × 65536)
    floor (40217.5)     		ty = 40217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24787 / 40217 ti = "16/24787/40217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24787/40217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24787 ÷ 216
    24787 ÷ 65536     		x = 0.378219604492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40217 ÷ 216
    40217 ÷ 65536     		y = 0.613662719726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378219604492188 × 2 - 1) × π
    -0.243560791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76516879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.613662719726562 × 2 - 1) × π
    -0.227325439453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.714163930539597
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76516879} λ = -0.76516879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.714163930539597))-π/2
    2×atan(0.489601281404547)-π/2
    2×0.455294081234847-π/2
    0.910588162469694-1.57079632675     		φ = -0.66020816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76516879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.840942°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66020816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.827141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24787 KachelY 40217 -0.76516879 -0.66020816 -43.840942 -37.827141
    Oben rechts KachelX + 1 24788 KachelY 40217 -0.76507292 -0.66020816 -43.835449 -37.827141
    Unten links KachelX 24787 KachelY + 1 40218 -0.76516879 -0.66028389 -43.840942 -37.831480
    Unten rechts KachelX + 1 24788 KachelY + 1 40218 -0.76507292 -0.66028389 -43.835449 -37.831480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66020816--0.66028389) × R
    7.57299999999406e-05 × 6371000     		dl = 482.475829999621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66020816--0.66028389) × R
    7.57299999999406e-05 × 6371000     		dr = 482.475829999621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76516879--0.76507292) × cos(-0.66020816) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.789864587978967 × 6371000     		do = 482.439630293632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76516879--0.76507292) × cos(-0.66028389) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.789818141922464 × 6371000     		du = 482.411261610355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66020816)-sin(-0.66028389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.789864587978967-0.789818141922464)×R²
    abs(-0.76507292--0.76516879)×4.64460565025027e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.64460565025027e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.64460565025027e-05×40589641000000     		ar = 232758.617559703m²