Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24785 / 41409
↖ ↑ ↗
← S 42.815551°
W 43.851929°		 ← 448.04 m → S 42.815551°
W 43.846436°		 →
↑
448.07 m
↓
↑
448.07 m
↓
S 42.819581°
W 43.851929°		 ← 448.01 m →
200 748 m²		 S 42.819581°
W 43.846436°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378196716308594 y=0.631858825683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378196716308594 × 216)
    floor (0.378196716308594 × 65536)
    floor (24785.5)     		tx = 24785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631858825683594 × 216)
    floor (0.631858825683594 × 65536)
    floor (41409.5)     		ty = 41409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24785 / 41409 ti = "16/24785/41409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24785/41409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24785 ÷ 216
    24785 ÷ 65536     		x = 0.378189086914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41409 ÷ 216
    41409 ÷ 65536     		y = 0.631851196289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378189086914062 × 2 - 1) × π
    -0.243621826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.76536054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631851196289062 × 2 - 1) × π
    -0.263702392578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.82844549923381
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76536054} λ = -0.76536054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.82844549923381))-π/2
    2×atan(0.436727652394905)-π/2
    2×0.411761992246695-π/2
    0.823523984493389-1.57079632675     		φ = -0.74727234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76536054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.851929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74727234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.815551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24785 KachelY 41409 -0.76536054 -0.74727234 -43.851929 -42.815551
    Oben rechts KachelX + 1 24786 KachelY 41409 -0.76526467 -0.74727234 -43.846436 -42.815551
    Unten links KachelX 24785 KachelY + 1 41410 -0.76536054 -0.74734267 -43.851929 -42.819581
    Unten rechts KachelX + 1 24786 KachelY + 1 41410 -0.76526467 -0.74734267 -43.846436 -42.819581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74727234--0.74734267) × R
    7.03300000000073e-05 × 6371000     		dl = 448.072430000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74727234--0.74734267) × R
    7.03300000000073e-05 × 6371000     		dr = 448.072430000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76536054--0.76526467) × cos(-0.74727234) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.733545423420315 × 6371000     		do = 448.04057336459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76536054--0.76526467) × cos(-0.74734267) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.733497622494861 × 6371000     		du = 448.011377143928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74727234)-sin(-0.74734267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.733545423420315-0.733497622494861)×R²
    abs(-0.76526467--0.76536054)×4.7800925453978e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7800925453978e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7800925453978e-05×40589641000000     		ar = 200748.087518103m²