Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24785 / 40271
↖ ↑ ↗
← S 38.061067°
W 43.851929°		 ← 480.91 m → S 38.061067°
W 43.846436°		 →
↑
480.95 m
↓
↑
480.95 m
↓
S 38.065392°
W 43.851929°		 ← 480.88 m →
231 283 m²		 S 38.065392°
W 43.846436°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378196716308594 y=0.614494323730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378196716308594 × 216)
    floor (0.378196716308594 × 65536)
    floor (24785.5)     		tx = 24785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614494323730469 × 216)
    floor (0.614494323730469 × 65536)
    floor (40271.5)     		ty = 40271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24785 / 40271 ti = "16/24785/40271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24785/40271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24785 ÷ 216
    24785 ÷ 65536     		x = 0.378189086914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40271 ÷ 216
    40271 ÷ 65536     		y = 0.614486694335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378189086914062 × 2 - 1) × π
    -0.243621826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.76536054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614486694335938 × 2 - 1) × π
    -0.228973388671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.719341115698563
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76536054} λ = -0.76536054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.719341115698563))-π/2
    2×atan(0.487073075059841)-π/2
    2×0.453252691808271-π/2
    0.906505383616542-1.57079632675     		φ = -0.66429094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76536054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.851929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66429094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.061067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24785 KachelY 40271 -0.76536054 -0.66429094 -43.851929 -38.061067
    Oben rechts KachelX + 1 24786 KachelY 40271 -0.76526467 -0.66429094 -43.846436 -38.061067
    Unten links KachelX 24785 KachelY + 1 40272 -0.76536054 -0.66436643 -43.851929 -38.065392
    Unten rechts KachelX + 1 24786 KachelY + 1 40272 -0.76526467 -0.66436643 -43.846436 -38.065392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66429094--0.66436643) × R
    7.54899999999559e-05 × 6371000     		dl = 480.946789999719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66429094--0.66436643) × R
    7.54899999999559e-05 × 6371000     		dr = 480.946789999719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76536054--0.76526467) × cos(-0.66429094) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.787354119222891 × 6371000     		do = 480.906266680453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76536054--0.76526467) × cos(-0.66436643) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.787307577318496 × 6371000     		du = 480.877839454456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66429094)-sin(-0.66436643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.787354119222891-0.787307577318496)×R²
    abs(-0.76526467--0.76536054)×4.65419043952364e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.65419043952364e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.65419043952364e-05×40589641000000     		ar = 231283.489369049m²