Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24783 / 40268
↖ ↑ ↗
← S 38.048091°
W 43.862915°		 ← 481.04 m → S 38.048091°
W 43.857422°		 →
↑
481.01 m
↓
↑
481.01 m
↓
S 38.052417°
W 43.862915°		 ← 481.01 m →
231 379 m²		 S 38.052417°
W 43.857422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378166198730469 y=0.614448547363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378166198730469 × 216)
    floor (0.378166198730469 × 65536)
    floor (24783.5)     		tx = 24783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614448547363281 × 216)
    floor (0.614448547363281 × 65536)
    floor (40268.5)     		ty = 40268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24783 / 40268 ti = "16/24783/40268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24783/40268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24783 ÷ 216
    24783 ÷ 65536     		x = 0.378158569335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40268 ÷ 216
    40268 ÷ 65536     		y = 0.61444091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378158569335938 × 2 - 1) × π
    -0.243682861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.76555229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61444091796875 × 2 - 1) × π
    -0.2288818359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.719053494300842
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76555229} λ = -0.76555229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.719053494300842))-π/2
    2×atan(0.487213187847233)-π/2
    2×0.453365931792654-π/2
    0.906731863585309-1.57079632675     		φ = -0.66406446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76555229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.862915°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66406446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.048091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24783 KachelY 40268 -0.76555229 -0.66406446 -43.862915 -38.048091
    Oben rechts KachelX + 1 24784 KachelY 40268 -0.76545641 -0.66406446 -43.857422 -38.048091
    Unten links KachelX 24783 KachelY + 1 40269 -0.76555229 -0.66413996 -43.862915 -38.052417
    Unten rechts KachelX + 1 24784 KachelY + 1 40269 -0.76545641 -0.66413996 -43.857422 -38.052417
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66406446--0.66413996) × R
    7.55000000000061e-05 × 6371000     		dl = 481.010500000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66406446--0.66413996) × R
    7.55000000000061e-05 × 6371000     		dr = 481.010500000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76555229--0.76545641) × cos(-0.66406446) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.787493724176684 × 6371000     		do = 481.041706904281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76555229--0.76545641) × cos(-0.66413996) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.787447189570637 × 6371000     		du = 481.013281171306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66406446)-sin(-0.66413996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.787493724176684-0.787447189570637)×R²
    abs(-0.76545641--0.76555229)×4.65346060469773e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.65346060469773e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.65346060469773e-05×40589641000000     		ar = 231379.275530886m²