Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24782 / 41413
↖ ↑ ↗
← S 42.831667°
W 43.868408°		 ← 447.92 m → S 42.831667°
W 43.862915°		 →
↑
447.88 m
↓
↑
447.88 m
↓
S 42.835695°
W 43.868408°		 ← 447.89 m →
200 610 m²		 S 42.835695°
W 43.862915°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378150939941406 y=0.631919860839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378150939941406 × 216)
    floor (0.378150939941406 × 65536)
    floor (24782.5)     		tx = 24782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631919860839844 × 216)
    floor (0.631919860839844 × 65536)
    floor (41413.5)     		ty = 41413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24782 / 41413 ti = "16/24782/41413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24782/41413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24782 ÷ 216
    24782 ÷ 65536     		x = 0.378143310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41413 ÷ 216
    41413 ÷ 65536     		y = 0.631912231445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378143310546875 × 2 - 1) × π
    -0.24371337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76564816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631912231445312 × 2 - 1) × π
    -0.263824462890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.828828994430771
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76564816} λ = -0.76564816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.828828994430771))-π/2
    2×atan(0.436560201548182)-π/2
    2×0.411621355004092-π/2
    0.823242710008185-1.57079632675     		φ = -0.74755362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76564816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.868408°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74755362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.831667°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24782 KachelY 41413 -0.76564816 -0.74755362 -43.868408 -42.831667
    Oben rechts KachelX + 1 24783 KachelY 41413 -0.76555229 -0.74755362 -43.862915 -42.831667
    Unten links KachelX 24782 KachelY + 1 41414 -0.76564816 -0.74762392 -43.868408 -42.835695
    Unten rechts KachelX + 1 24783 KachelY + 1 41414 -0.76555229 -0.74762392 -43.862915 -42.835695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74755362--0.74762392) × R
    7.02999999999676e-05 × 6371000     		dl = 447.881299999794m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74755362--0.74762392) × R
    7.02999999999676e-05 × 6371000     		dr = 447.881299999794m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76564816--0.76555229) × cos(-0.74755362) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.73335422514468 × 6371000     		do = 447.923791796187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76564816--0.76555229) × cos(-0.74762392) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.733306430107233 × 6371000     		du = 447.894599171848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74755362)-sin(-0.74762392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73335422514468-0.733306430107233)×R²
    abs(-0.76555229--0.76564816)×4.7795037446563e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7795037446563e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7795037446563e-05×40589641000000     		ar = 200610.15283779m²