Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24781 / 41411
↖ ↑ ↗
← S 42.823610°
W 43.873901°		 ← 447.98 m → S 42.823610°
W 43.868408°		 →
↑
447.95 m
↓
↑
447.95 m
↓
S 42.827638°
W 43.873901°		 ← 447.95 m →
200 665 m²		 S 42.827638°
W 43.868408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24781 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378135681152344 y=0.631889343261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378135681152344 × 216)
    floor (0.378135681152344 × 65536)
    floor (24781.5)     		tx = 24781
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631889343261719 × 216)
    floor (0.631889343261719 × 65536)
    floor (41411.5)     		ty = 41411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24781 / 41411 ti = "16/24781/41411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24781/41411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24781 ÷ 216
    24781 ÷ 65536     		x = 0.378128051757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41411 ÷ 216
    41411 ÷ 65536     		y = 0.631881713867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378128051757812 × 2 - 1) × π
    -0.243743896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76574403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631881713867188 × 2 - 1) × π
    -0.263763427734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.828637246832291
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76574403} λ = -0.76574403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.828637246832291))-π/2
    2×atan(0.436643918944469)-π/2
    2×0.411691669042757-π/2
    0.823383338085514-1.57079632675     		φ = -0.74741299
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76574403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.873901°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74741299 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.823610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24781 KachelY 41411 -0.76574403 -0.74741299 -43.873901 -42.823610
    Oben rechts KachelX + 1 24782 KachelY 41411 -0.76564816 -0.74741299 -43.868408 -42.823610
    Unten links KachelX 24781 KachelY + 1 41412 -0.76574403 -0.74748330 -43.873901 -42.827638
    Unten rechts KachelX + 1 24782 KachelY + 1 41412 -0.76564816 -0.74748330 -43.868408 -42.827638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74741299--0.74748330) × R
    7.03099999999068e-05 × 6371000     		dl = 447.945009999406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74741299--0.74748330) × R
    7.03099999999068e-05 × 6371000     		dr = 447.945009999406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76574403--0.76564816) × cos(-0.74741299) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.733449824738737 × 6371000     		do = 447.982182859054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76574403--0.76564816) × cos(-0.74748330) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.733402030153727 × 6371000     		du = 447.952990511058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74741299)-sin(-0.74748330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.733449824738737-0.733402030153727)×R²
    abs(-0.76564816--0.76574403)×4.77945850099193e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77945850099193e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77945850099193e-05×40589641000000     		ar = 200664.845179441m²