Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24780 / 40256
↖ ↑ ↗
← S 37.996163°
W 43.879395°		 ← 481.38 m → S 37.996163°
W 43.873901°		 →
↑
481.33 m
↓
↑
481.33 m
↓
S 38.000491°
W 43.879395°		 ← 481.35 m →
231 697 m²		 S 38.000491°
W 43.873901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378120422363281 y=0.614265441894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378120422363281 × 216)
    floor (0.378120422363281 × 65536)
    floor (24780.5)     		tx = 24780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614265441894531 × 216)
    floor (0.614265441894531 × 65536)
    floor (40256.5)     		ty = 40256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24780 / 40256 ti = "16/24780/40256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24780/40256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24780 ÷ 216
    24780 ÷ 65536     		x = 0.37811279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40256 ÷ 216
    40256 ÷ 65536     		y = 0.6142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37811279296875 × 2 - 1) × π
    -0.2437744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76583991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6142578125 × 2 - 1) × π
    -0.228515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.717903008709961
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76583991} λ = -0.76583991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.717903008709961))-π/2
    2×atan(0.487774042165082)-π/2
    2×0.45381909246321-π/2
    0.907638184926419-1.57079632675     		φ = -0.66315814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76583991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.879395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66315814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.996163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24780 KachelY 40256 -0.76583991 -0.66315814 -43.879395 -37.996163
    Oben rechts KachelX + 1 24781 KachelY 40256 -0.76574403 -0.66315814 -43.873901 -37.996163
    Unten links KachelX 24780 KachelY + 1 40257 -0.76583991 -0.66323369 -43.879395 -38.000491
    Unten rechts KachelX + 1 24781 KachelY + 1 40257 -0.76574403 -0.66323369 -43.873901 -38.000491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66315814--0.66323369) × R
    7.55500000000353e-05 × 6371000     		dl = 481.329050000225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66315814--0.66323369) × R
    7.55500000000353e-05 × 6371000     		dr = 481.329050000225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76583991--0.76574403) × cos(-0.66315814) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.788051986233167 × 6371000     		do = 481.382722107154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76583991--0.76574403) × cos(-0.66323369) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.788005474747181 × 6371000     		du = 481.354310497102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66315814)-sin(-0.66323369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.788051986233167-0.788005474747181)×R²
    abs(-0.76574403--0.76583991)×4.65114859858895e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.65114859858895e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.65114859858895e-05×40589641000000     		ar = 231696.650761959m²