Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24779 / 40272
↖ ↑ ↗
← S 38.065392°
W 43.884888°		 ← 480.88 m → S 38.065392°
W 43.879395°		 →
↑
480.88 m
↓
↑
480.88 m
↓
S 38.069717°
W 43.884888°		 ← 480.85 m →
231 239 m²		 S 38.069717°
W 43.879395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378105163574219 y=0.614509582519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378105163574219 × 216)
    floor (0.378105163574219 × 65536)
    floor (24779.5)     		tx = 24779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614509582519531 × 216)
    floor (0.614509582519531 × 65536)
    floor (40272.5)     		ty = 40272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24779 / 40272 ti = "16/24779/40272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24779/40272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24779 ÷ 216
    24779 ÷ 65536     		x = 0.378097534179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40272 ÷ 216
    40272 ÷ 65536     		y = 0.614501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378097534179688 × 2 - 1) × π
    -0.243804931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76593578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614501953125 × 2 - 1) × π
    -0.22900390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.719436989497803
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76593578} λ = -0.76593578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.719436989497803))-π/2
    2×atan(0.487026379752091)-π/2
    2×0.453214949608434-π/2
    0.906429899216868-1.57079632675     		φ = -0.66436643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76593578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.884888°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66436643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.065392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24779 KachelY 40272 -0.76593578 -0.66436643 -43.884888 -38.065392
    Oben rechts KachelX + 1 24780 KachelY 40272 -0.76583991 -0.66436643 -43.879395 -38.065392
    Unten links KachelX 24779 KachelY + 1 40273 -0.76593578 -0.66444191 -43.884888 -38.069717
    Unten rechts KachelX + 1 24780 KachelY + 1 40273 -0.76583991 -0.66444191 -43.879395 -38.069717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66436643--0.66444191) × R
    7.54800000000166e-05 × 6371000     		dl = 480.883080000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66436643--0.66444191) × R
    7.54800000000166e-05 × 6371000     		dr = 480.883080000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76593578--0.76583991) × cos(-0.66436643) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.787307577318496 × 6371000     		do = 480.877839454456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76593578--0.76583991) × cos(-0.66444191) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.787261037093638 × 6371000     		du = 480.8494132543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66436643)-sin(-0.66444191))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.787307577318496-0.787261037093638)×R²
    abs(-0.76583991--0.76593578)×4.65402248578384e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.65402248578384e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.65402248578384e-05×40589641000000     		ar = 231239.18181089m²