Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24779 / 40255
↖ ↑ ↗
← S 37.991834°
W 43.884888°		 ← 481.36 m → S 37.991834°
W 43.879395°		 →
↑
481.33 m
↓
↑
481.33 m
↓
S 37.996163°
W 43.884888°		 ← 481.33 m →
231 686 m²		 S 37.996163°
W 43.879395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378105163574219 y=0.614250183105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378105163574219 × 216)
    floor (0.378105163574219 × 65536)
    floor (24779.5)     		tx = 24779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614250183105469 × 216)
    floor (0.614250183105469 × 65536)
    floor (40255.5)     		ty = 40255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24779 / 40255 ti = "16/24779/40255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24779/40255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24779 ÷ 216
    24779 ÷ 65536     		x = 0.378097534179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40255 ÷ 216
    40255 ÷ 65536     		y = 0.614242553710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378097534179688 × 2 - 1) × π
    -0.243804931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76593578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614242553710938 × 2 - 1) × π
    -0.228485107421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.717807134910721
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76593578} λ = -0.76593578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.717807134910721))-π/2
    2×atan(0.487820809157503)-π/2
    2×0.453856870346907-π/2
    0.907713740693813-1.57079632675     		φ = -0.66308259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76593578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.884888°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66308259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.991834°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24779 KachelY 40255 -0.76593578 -0.66308259 -43.884888 -37.991834
    Oben rechts KachelX + 1 24780 KachelY 40255 -0.76583991 -0.66308259 -43.879395 -37.991834
    Unten links KachelX 24779 KachelY + 1 40256 -0.76593578 -0.66315814 -43.884888 -37.996163
    Unten rechts KachelX + 1 24780 KachelY + 1 40256 -0.76583991 -0.66315814 -43.879395 -37.996163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66308259--0.66315814) × R
    7.55499999999243e-05 × 6371000     		dl = 481.329049999518m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66308259--0.66315814) × R
    7.55499999999243e-05 × 6371000     		dr = 481.329049999518m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76593578--0.76583991) × cos(-0.66308259) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.788098493221107 × 6371000     		do = 481.36092121487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76593578--0.76583991) × cos(-0.66315814) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.788051986233167 × 6371000     		du = 481.332515315416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66308259)-sin(-0.66315814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.788098493221107-0.788051986233167)×R²
    abs(-0.76583991--0.76593578)×4.65069879407309e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.65069879407309e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.65069879407309e-05×40589641000000     		ar = 231686.158732987m²