Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24779 / 40239
↖ ↑ ↗
← S 37.922535°
W 43.884888°		 ← 481.82 m → S 37.922535°
W 43.879395°		 →
↑
481.78 m
↓
↑
481.78 m
↓
S 37.926867°
W 43.884888°		 ← 481.79 m →
232 120 m²		 S 37.926867°
W 43.879395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378105163574219 y=0.614006042480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378105163574219 × 216)
    floor (0.378105163574219 × 65536)
    floor (24779.5)     		tx = 24779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614006042480469 × 216)
    floor (0.614006042480469 × 65536)
    floor (40239.5)     		ty = 40239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24779 / 40239 ti = "16/24779/40239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24779/40239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24779 ÷ 216
    24779 ÷ 65536     		x = 0.378097534179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40239 ÷ 216
    40239 ÷ 65536     		y = 0.613998413085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378097534179688 × 2 - 1) × π
    -0.243804931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76593578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.613998413085938 × 2 - 1) × π
    -0.227996826171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.716273154122879
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76593578} λ = -0.76593578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.716273154122879))-π/2
    2×atan(0.488569691145102)-π/2
    2×0.454461619644649-π/2
    0.908923239289299-1.57079632675     		φ = -0.66187309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76593578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.884888°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66187309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.922535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24779 KachelY 40239 -0.76593578 -0.66187309 -43.884888 -37.922535
    Oben rechts KachelX + 1 24780 KachelY 40239 -0.76583991 -0.66187309 -43.879395 -37.922535
    Unten links KachelX 24779 KachelY + 1 40240 -0.76593578 -0.66194871 -43.884888 -37.926867
    Unten rechts KachelX + 1 24780 KachelY + 1 40240 -0.76583991 -0.66194871 -43.879395 -37.926867
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66187309--0.66194871) × R
    7.5619999999943e-05 × 6371000     		dl = 481.775019999637m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66187309--0.66194871) × R
    7.5619999999943e-05 × 6371000     		dr = 481.775019999637m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76593578--0.76583991) × cos(-0.66187309) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.78884242329454 × 6371000     		do = 481.815304605458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76593578--0.76583991) × cos(-0.66194871) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.788795945327263 × 6371000     		du = 481.786916431471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66187309)-sin(-0.66194871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.78884242329454-0.788795945327263)×R²
    abs(-0.76583991--0.76593578)×4.6477967277081e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.6477967277081e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.6477967277081e-05×40589641000000     		ar = 232119.739766393m²