Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24779 / 40203
↖ ↑ ↗
← S 37.766373°
W 43.884888°		 ← 482.84 m → S 37.766373°
W 43.879395°		 →
↑
482.79 m
↓
↑
482.79 m
↓
S 37.770715°
W 43.884888°		 ← 482.81 m →
233 104 m²		 S 37.770715°
W 43.879395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378105163574219 y=0.613456726074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378105163574219 × 216)
    floor (0.378105163574219 × 65536)
    floor (24779.5)     		tx = 24779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.613456726074219 × 216)
    floor (0.613456726074219 × 65536)
    floor (40203.5)     		ty = 40203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24779 / 40203 ti = "16/24779/40203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24779/40203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24779 ÷ 216
    24779 ÷ 65536     		x = 0.378097534179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40203 ÷ 216
    40203 ÷ 65536     		y = 0.613449096679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378097534179688 × 2 - 1) × π
    -0.243804931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76593578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.613449096679688 × 2 - 1) × π
    -0.226898193359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.712821697350235
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76593578} λ = -0.76593578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.712821697350235))-π/2
    2×atan(0.49025888172176)-π/2
    2×0.455824390602754-π/2
    0.911648781205508-1.57079632675     		φ = -0.65914755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76593578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.884888°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65914755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.766373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24779 KachelY 40203 -0.76593578 -0.65914755 -43.884888 -37.766373
    Oben rechts KachelX + 1 24780 KachelY 40203 -0.76583991 -0.65914755 -43.879395 -37.766373
    Unten links KachelX 24779 KachelY + 1 40204 -0.76593578 -0.65922333 -43.884888 -37.770715
    Unten rechts KachelX + 1 24780 KachelY + 1 40204 -0.76583991 -0.65922333 -43.879395 -37.770715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65914755--0.65922333) × R
    7.57799999999698e-05 × 6371000     		dl = 482.794379999807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65914755--0.65922333) × R
    7.57799999999698e-05 × 6371000     		dr = 482.794379999807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76593578--0.76583991) × cos(-0.65914755) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.790514595862325 × 6371000     		do = 482.83664715919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76593578--0.76583991) × cos(-0.65922333) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.790468182646834 × 6371000     		du = 482.808298534802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65914755)-sin(-0.65922333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.790514595862325-0.790468182646834)×R²
    abs(-0.76583991--0.76593578)×4.64132154904817e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.64132154904817e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.64132154904817e-05×40589641000000     		ar = 233103.976539404m²