Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 24778 / 57065
↖ ↑ ↗
← N 22.652037°
W111.945190°		 ← 281.81 m → N 22.652037°
W111.942444°		 →
↑
281.85 m
↓
↑
281.85 m
↓
N 22.649502°
W111.945190°		 ← 281.81 m →
79 429 m²		 N 22.649502°
W111.942444°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.189044952392578 y=0.435375213623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.189044952392578 × 217)
    floor (0.189044952392578 × 131072)
    floor (24778.5)     		tx = 24778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435375213623047 × 217)
    floor (0.435375213623047 × 131072)
    floor (57065.5)     		ty = 57065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 24778 / 57065 ti = "17/24778/57065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/24778/57065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24778 ÷ 217
    24778 ÷ 131072     		x = 0.189041137695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57065 ÷ 217
    57065 ÷ 131072     		y = 0.435371398925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.189041137695312 × 2 - 1) × π
    -0.621917724609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.95381215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435371398925781 × 2 - 1) × π
    0.129257202148438 × 3.1415926535     		Φ = 0.406073476681496
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.95381215} λ = -1.95381215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.406073476681496))-π/2
    2×atan(1.50091283050054)-π/2
    2×0.983074475880315-π/2
    1.96614895176063-1.57079632675     		φ = 0.39535263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.95381215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -111.945190°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39535263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.652037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24778 KachelY 57065 -1.95381215 0.39535263 -111.945190 22.652037
    Oben rechts KachelX + 1 24779 KachelY 57065 -1.95376422 0.39535263 -111.942444 22.652037
    Unten links KachelX 24778 KachelY + 1 57066 -1.95381215 0.39530839 -111.945190 22.649502
    Unten rechts KachelX + 1 24779 KachelY + 1 57066 -1.95376422 0.39530839 -111.942444 22.649502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39535263-0.39530839) × R
    4.42399999999732e-05 × 6371000     		dl = 281.853039999829m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39535263-0.39530839) × R
    4.42399999999732e-05 × 6371000     		dr = 281.853039999829m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.95381215--1.95376422) × cos(0.39535263) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.922860812067961 × 6371000     		do = 281.806650980693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.95381215--1.95376422) × cos(0.39530839) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.922877849477138 × 6371000     		du = 281.811853558546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39535263)-sin(0.39530839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.922860812067961-0.922877849477138)×R²
    abs(-1.95376422--1.95381215)×1.70374091779113e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.70374091779113e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.70374091779113e-05×40589641000000     		ar = 79428.7944653109m²