Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24778 / 40205
↖ ↑ ↗
← S 37.775057°
W 43.890381°		 ← 482.83 m → S 37.775057°
W 43.884888°		 →
↑
482.73 m
↓
↑
482.73 m
↓
S 37.779398°
W 43.890381°		 ← 482.80 m →
233 070 m²		 S 37.779398°
W 43.884888°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378089904785156 y=0.613487243652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378089904785156 × 216)
    floor (0.378089904785156 × 65536)
    floor (24778.5)     		tx = 24778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.613487243652344 × 216)
    floor (0.613487243652344 × 65536)
    floor (40205.5)     		ty = 40205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24778 / 40205 ti = "16/24778/40205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24778/40205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24778 ÷ 216
    24778 ÷ 65536     		x = 0.378082275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40205 ÷ 216
    40205 ÷ 65536     		y = 0.613479614257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378082275390625 × 2 - 1) × π
    -0.24383544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.76603166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.613479614257812 × 2 - 1) × π
    -0.226959228515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.713013444948715
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76603166} λ = -0.76603166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.713013444948715))-π/2
    2×atan(0.49016488477069)-π/2
    2×0.455748605415111-π/2
    0.911497210830221-1.57079632675     		φ = -0.65929912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76603166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.890381°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65929912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.775057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24778 KachelY 40205 -0.76603166 -0.65929912 -43.890381 -37.775057
    Oben rechts KachelX + 1 24779 KachelY 40205 -0.76593578 -0.65929912 -43.884888 -37.775057
    Unten links KachelX 24778 KachelY + 1 40206 -0.76603166 -0.65937489 -43.890381 -37.779398
    Unten rechts KachelX + 1 24779 KachelY + 1 40206 -0.76593578 -0.65937489 -43.884888 -37.779398
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65929912--0.65937489) × R
    7.57700000000305e-05 × 6371000     		dl = 482.730670000195m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65929912--0.65937489) × R
    7.57700000000305e-05 × 6371000     		dr = 482.730670000195m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76603166--0.76593578) × cos(-0.65929912) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.790421758766364 × 6371000     		do = 482.830301166879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76603166--0.76593578) × cos(-0.65937489) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.790375342598072 × 6371000     		du = 482.801947781782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65929912)-sin(-0.65937489))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.790421758766364-0.790375342598072)×R²
    abs(-0.76593578--0.76603166)×4.64161682923736e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.64161682923736e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.64161682923736e-05×40589641000000     		ar = 233070.151365678m²