Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24777 / 40937
↖ ↑ ↗
← S 40.884448°
W 43.895874°		 ← 461.77 m → S 40.884448°
W 43.890381°		 →
↑
461.77 m
↓
↑
461.77 m
↓
S 40.888601°
W 43.895874°		 ← 461.75 m →
213 227 m²		 S 40.888601°
W 43.890381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378074645996094 y=0.624656677246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378074645996094 × 216)
    floor (0.378074645996094 × 65536)
    floor (24777.5)     		tx = 24777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624656677246094 × 216)
    floor (0.624656677246094 × 65536)
    floor (40937.5)     		ty = 40937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24777 / 40937 ti = "16/24777/40937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24777/40937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24777 ÷ 216
    24777 ÷ 65536     		x = 0.378067016601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40937 ÷ 216
    40937 ÷ 65536     		y = 0.624649047851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378067016601562 × 2 - 1) × π
    -0.243865966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.76612753
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624649047851562 × 2 - 1) × π
    -0.249298095703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.783193065992477
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76612753} λ = -0.76612753}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.783193065992477))-π/2
    2×atan(0.456944625052801)-π/2
    2×0.42861404870772-π/2
    0.857228097415439-1.57079632675     		φ = -0.71356823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76612753} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.895874°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71356823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.884448°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24777 KachelY 40937 -0.76612753 -0.71356823 -43.895874 -40.884448
    Oben rechts KachelX + 1 24778 KachelY 40937 -0.76603166 -0.71356823 -43.890381 -40.884448
    Unten links KachelX 24777 KachelY + 1 40938 -0.76612753 -0.71364071 -43.895874 -40.888601
    Unten rechts KachelX + 1 24778 KachelY + 1 40938 -0.76603166 -0.71364071 -43.890381 -40.888601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71356823--0.71364071) × R
    7.24799999999304e-05 × 6371000     		dl = 461.770079999556m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71356823--0.71364071) × R
    7.24799999999304e-05 × 6371000     		dr = 461.770079999556m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76612753--0.76603166) × cos(-0.71356823) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.756031160282191 × 6371000     		do = 461.774586439262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76612753--0.76603166) × cos(-0.71364071) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.755983717554268 × 6371000     		du = 461.745609001271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71356823)-sin(-0.71364071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756031160282191-0.755983717554268)×R²
    abs(-0.76603166--0.76612753)×4.74427279226752e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74427279226752e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74427279226752e-05×40589641000000     		ar = 213226.997358238m²