Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24770 / 41419
↖ ↑ ↗
← S 42.855833°
W 43.934326°		 ← 447.80 m → S 42.855833°
W 43.928833°		 →
↑
447.75 m
↓
↑
447.75 m
↓
S 42.859860°
W 43.934326°		 ← 447.77 m →
200 496 m²		 S 42.859860°
W 43.928833°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377967834472656 y=0.632011413574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377967834472656 × 216)
    floor (0.377967834472656 × 65536)
    floor (24770.5)     		tx = 24770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632011413574219 × 216)
    floor (0.632011413574219 × 65536)
    floor (41419.5)     		ty = 41419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24770 / 41419 ti = "16/24770/41419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24770/41419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24770 ÷ 216
    24770 ÷ 65536     		x = 0.377960205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41419 ÷ 216
    41419 ÷ 65536     		y = 0.632003784179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377960205078125 × 2 - 1) × π
    -0.24407958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76679865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632003784179688 × 2 - 1) × π
    -0.264007568359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.829404237226212
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76679865} λ = -0.76679865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.829404237226212))-π/2
    2×atan(0.436309145653435)-π/2
    2×0.411410467881691-π/2
    0.822820935763381-1.57079632675     		φ = -0.74797539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76679865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.934326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74797539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.855833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24770 KachelY 41419 -0.76679865 -0.74797539 -43.934326 -42.855833
    Oben rechts KachelX + 1 24771 KachelY 41419 -0.76670277 -0.74797539 -43.928833 -42.855833
    Unten links KachelX 24770 KachelY + 1 41420 -0.76679865 -0.74804567 -43.934326 -42.859860
    Unten rechts KachelX + 1 24771 KachelY + 1 41420 -0.76670277 -0.74804567 -43.928833 -42.859860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74797539--0.74804567) × R
    7.02799999999781e-05 × 6371000     		dl = 447.753879999861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74797539--0.74804567) × R
    7.02799999999781e-05 × 6371000     		dr = 447.753879999861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76679865--0.76670277) × cos(-0.74797539) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.733067420968409 × 6371000     		do = 447.795319038561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76679865--0.76670277) × cos(-0.74804567) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.733019617795804 × 6371000     		du = 447.766118399826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74797539)-sin(-0.74804567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.733067420968409-0.733019617795804)×R²
    abs(-0.76670277--0.76679865)×4.78031726049988e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.78031726049988e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.78031726049988e-05×40589641000000     		ar = 200495.554278407m²