Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24768 / 25663
↖ ↑ ↗
← S 70.841067°
E 92.109375°		 ← 400.91 m → S 70.841067°
E 92.120361°		 →
↑
400.86 m
↓
↑
400.86 m
↓
S 70.844672°
E 92.109375°		 ← 400.84 m →
160 695 m²		 S 70.844672°
E 92.120361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.755874633789062 y=0.783187866210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.755874633789062 × 215)
    floor (0.755874633789062 × 32768)
    floor (24768.5)     		tx = 24768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783187866210938 × 215)
    floor (0.783187866210938 × 32768)
    floor (25663.5)     		ty = 25663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24768 / 25663 ti = "15/24768/25663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24768/25663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24768 ÷ 215
    24768 ÷ 32768     		x = 0.755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25663 ÷ 215
    25663 ÷ 32768     		y = 0.783172607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.755859375 × 2 - 1) × π
    0.51171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.60761187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783172607421875 × 2 - 1) × π
    -0.56634521484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.779225966298
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60761187} λ = 1.60761187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.779225966298))-π/2
    2×atan(0.168768729408993)-π/2
    2×0.167193227864345-π/2
    0.334386455728691-1.57079632675     		φ = -1.23640987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60761187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.109375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23640987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.841067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24768 KachelY 25663 1.60761187 -1.23640987 92.109375 -70.841067
    Oben rechts KachelX + 1 24769 KachelY 25663 1.60780361 -1.23640987 92.120361 -70.841067
    Unten links KachelX 24768 KachelY + 1 25664 1.60761187 -1.23647279 92.109375 -70.844672
    Unten rechts KachelX + 1 24769 KachelY + 1 25664 1.60780361 -1.23647279 92.120361 -70.844672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23640987--1.23647279) × R
    6.29200000001884e-05 × 6371000     		dl = 400.8633200012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23640987--1.23647279) × R
    6.29200000001884e-05 × 6371000     		dr = 400.8633200012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60761187-1.60780361) × cos(-1.23640987) × R
    0.000191739999999996 × 0.328189671501799 × 6371000     		do = 400.908475187224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60761187-1.60780361) × cos(-1.23647279) × R
    0.000191739999999996 × 0.328130235874851 × 6371000     		du = 400.83587007914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23640987)-sin(-1.23647279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328189671501799-0.328130235874851)×R²
    abs(1.60780361-1.60761187)×5.94356269478791e-05×R²
    0.000191739999999996×5.94356269478791e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.94356269478791e-05×40589641000000     		ar = 160694.950071347m²