Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24761 / 25160
↖ ↑ ↗
← S 68.942607°
E 92.032471°		 ← 438.94 m → S 68.942607°
E 92.043457°		 →
↑
438.90 m
↓
↑
438.90 m
↓
S 68.946554°
E 92.032471°		 ← 438.86 m →
192 632 m²		 S 68.946554°
E 92.043457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.755661010742188 y=0.767837524414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.755661010742188 × 215)
    floor (0.755661010742188 × 32768)
    floor (24761.5)     		tx = 24761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767837524414062 × 215)
    floor (0.767837524414062 × 32768)
    floor (25160.5)     		ty = 25160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24761 / 25160 ti = "15/24761/25160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24761/25160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24761 ÷ 215
    24761 ÷ 32768     		x = 0.755645751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25160 ÷ 215
    25160 ÷ 32768     		y = 0.767822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.755645751953125 × 2 - 1) × π
    0.51129150390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.60626963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767822265625 × 2 - 1) × π
    -0.53564453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.68277692426245
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60626963} λ = 1.60626963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68277692426245))-π/2
    2×atan(0.185857147552358)-π/2
    2×0.183760421464038-π/2
    0.367520842928075-1.57079632675     		φ = -1.20327548
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60626963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.032471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20327548 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.942607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24761 KachelY 25160 1.60626963 -1.20327548 92.032471 -68.942607
    Oben rechts KachelX + 1 24762 KachelY 25160 1.60646138 -1.20327548 92.043457 -68.942607
    Unten links KachelX 24761 KachelY + 1 25161 1.60626963 -1.20334437 92.032471 -68.946554
    Unten rechts KachelX + 1 24762 KachelY + 1 25161 1.60646138 -1.20334437 92.043457 -68.946554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20327548--1.20334437) × R
    6.88899999998771e-05 × 6371000     		dl = 438.898189999217m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20327548--1.20334437) × R
    6.88899999998771e-05 × 6371000     		dr = 438.898189999217m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60626963-1.60646138) × cos(-1.20327548) × R
    0.000191750000000157 × 0.359302940725674 × 6371000     		do = 438.938575031266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60626963-1.60646138) × cos(-1.20334437) × R
    0.000191750000000157 × 0.359238650279844 × 6371000     		du = 438.86003529924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20327548)-sin(-1.20334437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359302940725674-0.359238650279844)×R²
    abs(1.60646138-1.60626963)×6.42904458301174e-05×R²
    0.000191750000000157×6.42904458301174e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.42904458301174e-05×40589641000000     		ar = 192632.110705226m²