Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24760 / 25118
↖ ↑ ↗
← S 68.776191°
E 92.021484°		 ← 442.25 m → S 68.776191°
E 92.032471°		 →
↑
442.21 m
↓
↑
442.21 m
↓
S 68.780168°
E 92.021484°		 ← 442.17 m →
195 550 m²		 S 68.780168°
E 92.032471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.755630493164062 y=0.766555786132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.755630493164062 × 215)
    floor (0.755630493164062 × 32768)
    floor (24760.5)     		tx = 24760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766555786132812 × 215)
    floor (0.766555786132812 × 32768)
    floor (25118.5)     		ty = 25118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24760 / 25118 ti = "15/24760/25118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24760/25118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24760 ÷ 215
    24760 ÷ 32768     		x = 0.755615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25118 ÷ 215
    25118 ÷ 32768     		y = 0.76654052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.755615234375 × 2 - 1) × π
    0.51123046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.60607788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76654052734375 × 2 - 1) × π
    -0.5330810546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.67472352512628
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60607788} λ = 1.60607788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67472352512628))-π/2
    2×atan(0.18735997264665)-π/2
    2×0.185212674858089-π/2
    0.370425349716179-1.57079632675     		φ = -1.20037098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60607788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.021484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20037098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.776191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24760 KachelY 25118 1.60607788 -1.20037098 92.021484 -68.776191
    Oben rechts KachelX + 1 24761 KachelY 25118 1.60626963 -1.20037098 92.032471 -68.776191
    Unten links KachelX 24760 KachelY + 1 25119 1.60607788 -1.20044039 92.021484 -68.780168
    Unten rechts KachelX + 1 24761 KachelY + 1 25119 1.60626963 -1.20044039 92.032471 -68.780168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20037098--1.20044039) × R
    6.94100000000475e-05 × 6371000     		dl = 442.211110000303m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20037098--1.20044039) × R
    6.94100000000475e-05 × 6371000     		dr = 442.211110000303m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60607788-1.60626963) × cos(-1.20037098) × R
    0.000191749999999935 × 0.36201196168954 × 6371000     		do = 442.248021369288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60607788-1.60626963) × cos(-1.20044039) × R
    0.000191749999999935 × 0.361947258658434 × 6371000     		du = 442.168977606895m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20037098)-sin(-1.20044039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36201196168954-0.361947258658434)×R²
    abs(1.60626963-1.60607788)×6.47030311057284e-05×R²
    0.000191749999999935×6.47030311057284e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.47030311057284e-05×40589641000000     		ar = 195549.511488614m²