Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24758 / 40366
↖ ↑ ↗
← S 38.470794°
W 44.000244°		 ← 478.20 m → S 38.470794°
W 43.994751°		 →
↑
478.21 m
↓
↑
478.21 m
↓
S 38.475095°
W 44.000244°		 ← 478.17 m →
228 672 m²		 S 38.475095°
W 43.994751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377784729003906 y=0.615943908691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377784729003906 × 216)
    floor (0.377784729003906 × 65536)
    floor (24758.5)     		tx = 24758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615943908691406 × 216)
    floor (0.615943908691406 × 65536)
    floor (40366.5)     		ty = 40366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24758 / 40366 ti = "16/24758/40366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24758/40366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24758 ÷ 216
    24758 ÷ 65536     		x = 0.377777099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40366 ÷ 216
    40366 ÷ 65536     		y = 0.615936279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377777099609375 × 2 - 1) × π
    -0.24444580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.76794913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.615936279296875 × 2 - 1) × π
    -0.23187255859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.728449126626373
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76794913} λ = -0.76794913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.728449126626373))-π/2
    2×atan(0.482656949756894)-π/2
    2×0.449677155347581-π/2
    0.899354310695163-1.57079632675     		φ = -0.67144202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76794913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.000244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67144202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.470794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24758 KachelY 40366 -0.76794913 -0.67144202 -44.000244 -38.470794
    Oben rechts KachelX + 1 24759 KachelY 40366 -0.76785326 -0.67144202 -43.994751 -38.470794
    Unten links KachelX 24758 KachelY + 1 40367 -0.76794913 -0.67151708 -44.000244 -38.475095
    Unten rechts KachelX + 1 24759 KachelY + 1 40367 -0.76785326 -0.67151708 -43.994751 -38.475095
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67144202--0.67151708) × R
    7.50600000000157e-05 × 6371000     		dl = 478.2072600001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67144202--0.67151708) × R
    7.50600000000157e-05 × 6371000     		dr = 478.2072600001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76794913--0.76785326) × cos(-0.67144202) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.782925377030426 × 6371000     		do = 478.201245112813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76794913--0.76785326) × cos(-0.67151708) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.782878678825966 × 6371000     		du = 478.172722420648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67144202)-sin(-0.67151708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.782925377030426-0.782878678825966)×R²
    abs(-0.76785326--0.76794913)×4.66982044597941e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.66982044597941e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.66982044597941e-05×40589641000000     		ar = 228672.487382541m²