Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24757 / 40243
↖ ↑ ↗
← S 37.939865°
W 44.005738°		 ← 481.75 m → S 37.939865°
W 44.000244°		 →
↑
481.71 m
↓
↑
481.71 m
↓
S 37.944198°
W 44.005738°		 ← 481.72 m →
232 059 m²		 S 37.944198°
W 44.000244°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377769470214844 y=0.614067077636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377769470214844 × 216)
    floor (0.377769470214844 × 65536)
    floor (24757.5)     		tx = 24757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614067077636719 × 216)
    floor (0.614067077636719 × 65536)
    floor (40243.5)     		ty = 40243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24757 / 40243 ti = "16/24757/40243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24757/40243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24757 ÷ 216
    24757 ÷ 65536     		x = 0.377761840820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40243 ÷ 216
    40243 ÷ 65536     		y = 0.614059448242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377761840820312 × 2 - 1) × π
    -0.244476318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76804501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614059448242188 × 2 - 1) × π
    -0.228118896484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.71665664931984
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76804501} λ = -0.76804501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.71665664931984))-π/2
    2×atan(0.488382362937197)-π/2
    2×0.454310378830424-π/2
    0.908620757660849-1.57079632675     		φ = -0.66217557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76804501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.005738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66217557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.939865°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24757 KachelY 40243 -0.76804501 -0.66217557 -44.005738 -37.939865
    Oben rechts KachelX + 1 24758 KachelY 40243 -0.76794913 -0.66217557 -44.000244 -37.939865
    Unten links KachelX 24757 KachelY + 1 40244 -0.76804501 -0.66225118 -44.005738 -37.944198
    Unten rechts KachelX + 1 24758 KachelY + 1 40244 -0.76794913 -0.66225118 -44.000244 -37.944198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66217557--0.66225118) × R
    7.56100000000037e-05 × 6371000     		dl = 481.711310000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66217557--0.66225118) × R
    7.56100000000037e-05 × 6371000     		dr = 481.711310000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76804501--0.76794913) × cos(-0.66217557) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.788656484362664 × 6371000     		do = 481.751980684772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76804501--0.76794913) × cos(-0.66225118) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.788609994503366 × 6371000     		du = 481.723582285415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66217557)-sin(-0.66225118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.788656484362664-0.788609994503366)×R²
    abs(-0.76794913--0.76804501)×4.64898592987817e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.64898592987817e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.64898592987817e-05×40589641000000     		ar = 232058.53790649m²