Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24757 / 25137
↖ ↑ ↗
← S 68.851629°
E 91.988525°		 ← 440.75 m → S 68.851629°
E 91.999512°		 →
↑
440.75 m
↓
↑
440.75 m
↓
S 68.855593°
E 91.988525°		 ← 440.67 m →
194 241 m²		 S 68.855593°
E 91.999512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.755538940429688 y=0.767135620117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.755538940429688 × 215)
    floor (0.755538940429688 × 32768)
    floor (24757.5)     		tx = 24757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767135620117188 × 215)
    floor (0.767135620117188 × 32768)
    floor (25137.5)     		ty = 25137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24757 / 25137 ti = "15/24757/25137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24757/25137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24757 ÷ 215
    24757 ÷ 32768     		x = 0.755523681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25137 ÷ 215
    25137 ÷ 32768     		y = 0.767120361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.755523681640625 × 2 - 1) × π
    0.51104736328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.60550264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767120361328125 × 2 - 1) × π
    -0.53424072265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.67836672949741
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60550264} λ = 1.60550264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67836672949741))-π/2
    2×atan(0.186678623875366)-π/2
    2×0.184554351760939-π/2
    0.369108703521879-1.57079632675     		φ = -1.20168762
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60550264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.988525°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20168762 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.851629°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24757 KachelY 25137 1.60550264 -1.20168762 91.988525 -68.851629
    Oben rechts KachelX + 1 24758 KachelY 25137 1.60569439 -1.20168762 91.999512 -68.851629
    Unten links KachelX 24757 KachelY + 1 25138 1.60550264 -1.20175680 91.988525 -68.855593
    Unten rechts KachelX + 1 24758 KachelY + 1 25138 1.60569439 -1.20175680 91.999512 -68.855593
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20168762--1.20175680) × R
    6.9180000000113e-05 × 6371000     		dl = 440.74578000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20168762--1.20175680) × R
    6.9180000000113e-05 × 6371000     		dr = 440.74578000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60550264-1.60569439) × cos(-1.20168762) × R
    0.000191749999999935 × 0.360784311412626 × 6371000     		do = 440.748275605738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60550264-1.60569439) × cos(-1.20175680) × R
    0.000191749999999935 × 0.360719789872111 × 6371000     		du = 440.669453559373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20168762)-sin(-1.20175680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360784311412626-0.360719789872111)×R²
    abs(1.60569439-1.60550264)×6.45215405156718e-05×R²
    0.000191749999999935×6.45215405156718e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.45215405156718e-05×40589641000000     		ar = 194240.572351062m²