Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24756 / 40364
↖ ↑ ↗
← S 38.462192°
W 44.011230°		 ← 478.26 m → S 38.462192°
W 44.005738°		 →
↑
478.27 m
↓
↑
478.27 m
↓
S 38.466493°
W 44.011230°		 ← 478.23 m →
228 730 m²		 S 38.466493°
W 44.005738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377754211425781 y=0.615913391113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377754211425781 × 216)
    floor (0.377754211425781 × 65536)
    floor (24756.5)     		tx = 24756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615913391113281 × 216)
    floor (0.615913391113281 × 65536)
    floor (40364.5)     		ty = 40364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24756 / 40364 ti = "16/24756/40364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24756/40364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24756 ÷ 216
    24756 ÷ 65536     		x = 0.37774658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40364 ÷ 216
    40364 ÷ 65536     		y = 0.61590576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37774658203125 × 2 - 1) × π
    -0.2445068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76814088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61590576171875 × 2 - 1) × π
    -0.2318115234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.728257379027893
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76814088} λ = -0.76814088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.728257379027893))-π/2
    2×atan(0.482749506941425)-π/2
    2×0.449752221855171-π/2
    0.899504443710343-1.57079632675     		φ = -0.67129188
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76814088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.011230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67129188 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.462192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24756 KachelY 40364 -0.76814088 -0.67129188 -44.011230 -38.462192
    Oben rechts KachelX + 1 24757 KachelY 40364 -0.76804501 -0.67129188 -44.005738 -38.462192
    Unten links KachelX 24756 KachelY + 1 40365 -0.76814088 -0.67136695 -44.011230 -38.466493
    Unten rechts KachelX + 1 24757 KachelY + 1 40365 -0.76804501 -0.67136695 -44.005738 -38.466493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67129188--0.67136695) × R
    7.50700000000659e-05 × 6371000     		dl = 478.27097000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67129188--0.67136695) × R
    7.50700000000659e-05 × 6371000     		dr = 478.27097000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76814088--0.76804501) × cos(-0.67129188) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.783018772646031 × 6371000     		do = 478.258290012596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76814088--0.76804501) × cos(-0.67136695) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.78297207704445 × 6371000     		du = 478.229768910237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67129188)-sin(-0.67136695))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.783018772646031-0.78297207704445)×R²
    abs(-0.76804501--0.76814088)×4.66956015811038e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.66956015811038e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.66956015811038e-05×40589641000000     		ar = 228730.235974633m²