Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24756 / 25108
↖ ↑ ↗
← S 68.736384°
E 91.977539°		 ← 443.04 m → S 68.736384°
E 91.988525°		 →
↑
442.98 m
↓
↑
442.98 m
↓
S 68.740367°
E 91.977539°		 ← 442.96 m →
196 238 m²		 S 68.740367°
E 91.988525°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.755508422851562 y=0.766250610351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.755508422851562 × 215)
    floor (0.755508422851562 × 32768)
    floor (24756.5)     		tx = 24756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766250610351562 × 215)
    floor (0.766250610351562 × 32768)
    floor (25108.5)     		ty = 25108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24756 / 25108 ti = "15/24756/25108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24756/25108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24756 ÷ 215
    24756 ÷ 32768     		x = 0.7554931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25108 ÷ 215
    25108 ÷ 32768     		y = 0.7662353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7554931640625 × 2 - 1) × π
    0.510986328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.60531089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7662353515625 × 2 - 1) × π
    -0.532470703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.67280604914148
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60531089} λ = 1.60531089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67280604914148))-π/2
    2×atan(0.187719575549499)-π/2
    2×0.18556005982313-π/2
    0.37112011964626-1.57079632675     		φ = -1.19967621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60531089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.977539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19967621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.736384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24756 KachelY 25108 1.60531089 -1.19967621 91.977539 -68.736384
    Oben rechts KachelX + 1 24757 KachelY 25108 1.60550264 -1.19967621 91.988525 -68.736384
    Unten links KachelX 24756 KachelY + 1 25109 1.60531089 -1.19974574 91.977539 -68.740367
    Unten rechts KachelX + 1 24757 KachelY + 1 25109 1.60550264 -1.19974574 91.988525 -68.740367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19967621--1.19974574) × R
    6.95299999999843e-05 × 6371000     		dl = 442.9756299999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19967621--1.19974574) × R
    6.95299999999843e-05 × 6371000     		dr = 442.9756299999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60531089-1.60550264) × cos(-1.19967621) × R
    0.000191750000000157 × 0.362659520412259 × 6371000     		do = 443.039104522155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60531089-1.60550264) × cos(-1.19974574) × R
    0.000191750000000157 × 0.362594723019239 × 6371000     		du = 442.959945483544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19967621)-sin(-1.19974574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362659520412259-0.362594723019239)×R²
    abs(1.60550264-1.60531089)×6.47973930194556e-05×R²
    0.000191750000000157×6.47973930194556e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.47973930194556e-05×40589641000000     		ar = 196237.993756757m²