Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24752 / 40240
↖ ↑ ↗
← S 37.926867°
W 44.033203°		 ← 481.79 m → S 37.926867°
W 44.027710°		 →
↑
481.84 m
↓
↑
481.84 m
↓
S 37.931201°
W 44.033203°		 ← 481.76 m →
232 137 m²		 S 37.931201°
W 44.027710°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377693176269531 y=0.614021301269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377693176269531 × 216)
    floor (0.377693176269531 × 65536)
    floor (24752.5)     		tx = 24752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614021301269531 × 216)
    floor (0.614021301269531 × 65536)
    floor (40240.5)     		ty = 40240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24752 / 40240 ti = "16/24752/40240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24752/40240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24752 ÷ 216
    24752 ÷ 65536     		x = 0.377685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40240 ÷ 216
    40240 ÷ 65536     		y = 0.614013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377685546875 × 2 - 1) × π
    -0.24462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76852437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614013671875 × 2 - 1) × π
    -0.22802734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.716369027922119
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76852437} λ = -0.76852437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.716369027922119))-π/2
    2×atan(0.48852285235796)-π/2
    2×0.454423806098617-π/2
    0.908847612197233-1.57079632675     		φ = -0.66194871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76852437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.033203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66194871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.926867°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24752 KachelY 40240 -0.76852437 -0.66194871 -44.033203 -37.926867
    Oben rechts KachelX + 1 24753 KachelY 40240 -0.76842850 -0.66194871 -44.027710 -37.926867
    Unten links KachelX 24752 KachelY + 1 40241 -0.76852437 -0.66202434 -44.033203 -37.931201
    Unten rechts KachelX + 1 24753 KachelY + 1 40241 -0.76842850 -0.66202434 -44.027710 -37.931201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66194871--0.66202434) × R
    7.56299999999932e-05 × 6371000     		dl = 481.838729999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66194871--0.66202434) × R
    7.56299999999932e-05 × 6371000     		dr = 481.838729999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76852437--0.76842850) × cos(-0.66194871) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.788795945327263 × 6371000     		do = 481.786916431471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76852437--0.76842850) × cos(-0.66202434) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.7887494567022 × 6371000     		du = 481.758521747837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66194871)-sin(-0.66202434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.788795945327263-0.7887494567022)×R²
    abs(-0.76842850--0.76852437)×4.64886250637342e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.64886250637342e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.64886250637342e-05×40589641000000     		ar = 232136.755225455m²