Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24751 / 40381
↖ ↑ ↗
← S 38.535276°
W 44.038696°		 ← 477.82 m → S 38.535276°
W 44.033203°		 →
↑
477.82 m
↓
↑
477.82 m
↓
S 38.539573°
W 44.038696°		 ← 477.79 m →
228 309 m²		 S 38.539573°
W 44.033203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40381 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377677917480469 y=0.616172790527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377677917480469 × 216)
    floor (0.377677917480469 × 65536)
    floor (24751.5)     		tx = 24751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616172790527344 × 216)
    floor (0.616172790527344 × 65536)
    floor (40381.5)     		ty = 40381
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24751 / 40381 ti = "16/24751/40381"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24751/40381.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24751 ÷ 216
    24751 ÷ 65536     		x = 0.377670288085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40381 ÷ 216
    40381 ÷ 65536     		y = 0.616165161132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377670288085938 × 2 - 1) × π
    -0.244659423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.76862025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.616165161132812 × 2 - 1) × π
    -0.232330322265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.729887233614975
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76862025} λ = -0.76862025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.729887233614975))-π/2
    2×atan(0.481963336289081)-π/2
    2×0.449114441995155-π/2
    0.898228883990311-1.57079632675     		φ = -0.67256744
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76862025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.038696°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67256744 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.535276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24751 KachelY 40381 -0.76862025 -0.67256744 -44.038696 -38.535276
    Oben rechts KachelX + 1 24752 KachelY 40381 -0.76852437 -0.67256744 -44.033203 -38.535276
    Unten links KachelX 24751 KachelY + 1 40382 -0.76862025 -0.67264244 -44.038696 -38.539573
    Unten rechts KachelX + 1 24752 KachelY + 1 40382 -0.76852437 -0.67264244 -44.033203 -38.539573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67256744--0.67264244) × R
    7.49999999999362e-05 × 6371000     		dl = 477.824999999594m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67256744--0.67264244) × R
    7.49999999999362e-05 × 6371000     		dr = 477.824999999594m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76862025--0.76852437) × cos(-0.67256744) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.782224739993787 × 6371000     		do = 477.82314011806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76862025--0.76852437) × cos(-0.67264244) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.782178013067331 × 6371000     		du = 477.794596905879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67256744)-sin(-0.67264244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.782224739993787-0.782178013067331)×R²
    abs(-0.76852437--0.76862025)×4.67269264556869e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.67269264556869e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.67269264556869e-05×40589641000000     		ar = 228309.022703558m²