Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24751 / 25097
↖ ↑ ↗
← S 68.692513°
E 91.922608°		 ← 443.89 m → S 68.692513°
E 91.933594°		 →
↑
443.87 m
↓
↑
443.87 m
↓
S 68.696505°
E 91.922608°		 ← 443.81 m →
197 010 m²		 S 68.696505°
E 91.933594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.755355834960938 y=0.765914916992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.755355834960938 × 215)
    floor (0.755355834960938 × 32768)
    floor (24751.5)     		tx = 24751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765914916992188 × 215)
    floor (0.765914916992188 × 32768)
    floor (25097.5)     		ty = 25097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24751 / 25097 ti = "15/24751/25097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24751/25097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24751 ÷ 215
    24751 ÷ 32768     		x = 0.755340576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25097 ÷ 215
    25097 ÷ 32768     		y = 0.765899658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.755340576171875 × 2 - 1) × π
    0.51068115234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.60435216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765899658203125 × 2 - 1) × π
    -0.53179931640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.6706968255582
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60435216} λ = 1.60435216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6706968255582))-π/2
    2×atan(0.188115935964714)-π/2
    2×0.185942900934116-π/2
    0.371885801868233-1.57079632675     		φ = -1.19891052
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60435216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.922608°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19891052 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.692513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24751 KachelY 25097 1.60435216 -1.19891052 91.922608 -68.692513
    Oben rechts KachelX + 1 24752 KachelY 25097 1.60454390 -1.19891052 91.933594 -68.692513
    Unten links KachelX 24751 KachelY + 1 25098 1.60435216 -1.19898019 91.922608 -68.696505
    Unten rechts KachelX + 1 24752 KachelY + 1 25098 1.60454390 -1.19898019 91.933594 -68.696505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19891052--1.19898019) × R
    6.96699999997996e-05 × 6371000     		dl = 443.867569998723m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19891052--1.19898019) × R
    6.96699999997996e-05 × 6371000     		dr = 443.867569998723m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60435216-1.60454390) × cos(-1.19891052) × R
    0.000191739999999996 × 0.363372977165904 × 6371000     		do = 443.887540802837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60435216-1.60454390) × cos(-1.19898019) × R
    0.000191739999999996 × 0.363308068663909 × 6371000     		du = 443.808250164462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19891052)-sin(-1.19898019))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363372977165904-0.363308068663909)×R²
    abs(1.60454390-1.60435216)×6.49085019948648e-05×R²
    0.000191739999999996×6.49085019948648e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.49085019948648e-05×40589641000000     		ar = 197009.68689712m²