Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24750 / 40376
↖ ↑ ↗
← S 38.513788°
W 44.044189°		 ← 477.92 m → S 38.513788°
W 44.038696°		 →
↑
477.95 m
↓
↑
477.95 m
↓
S 38.518086°
W 44.044189°		 ← 477.89 m →
228 414 m²		 S 38.518086°
W 44.038696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377662658691406 y=0.616096496582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377662658691406 × 216)
    floor (0.377662658691406 × 65536)
    floor (24750.5)     		tx = 24750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616096496582031 × 216)
    floor (0.616096496582031 × 65536)
    floor (40376.5)     		ty = 40376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24750 / 40376 ti = "16/24750/40376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24750/40376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24750 ÷ 216
    24750 ÷ 65536     		x = 0.377655029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40376 ÷ 216
    40376 ÷ 65536     		y = 0.6160888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377655029296875 × 2 - 1) × π
    -0.24468994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76871612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6160888671875 × 2 - 1) × π
    -0.232177734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.729407864618774
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76871612} λ = -0.76871612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.729407864618774))-π/2
    2×atan(0.482194429954947)-π/2
    2×0.449301957133397-π/2
    0.898603914266795-1.57079632675     		φ = -0.67219241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76871612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.044189°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67219241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.513788°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24750 KachelY 40376 -0.76871612 -0.67219241 -44.044189 -38.513788
    Oben rechts KachelX + 1 24751 KachelY 40376 -0.76862025 -0.67219241 -44.038696 -38.513788
    Unten links KachelX 24750 KachelY + 1 40377 -0.76871612 -0.67226743 -44.044189 -38.518086
    Unten rechts KachelX + 1 24751 KachelY + 1 40377 -0.76862025 -0.67226743 -44.038696 -38.518086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67219241--0.67226743) × R
    7.50200000000367e-05 × 6371000     		dl = 477.952420000234m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67219241--0.67226743) × R
    7.50200000000367e-05 × 6371000     		dr = 477.952420000234m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76871612--0.76862025) × cos(-0.67219241) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.782458327301687 × 6371000     		do = 477.915976850517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76871612--0.76862025) × cos(-0.67226743) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.782411609924457 × 6371000     		du = 477.887442447859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67219241)-sin(-0.67226743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.782458327301687-0.782411609924457)×R²
    abs(-0.76862025--0.76871612)×4.67173772294993e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67173772294993e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67173772294993e-05×40589641000000     		ar = 228414.278755916m²