Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24749 / 40385
↖ ↑ ↗
← S 38.552462°
W 44.049683°		 ← 477.71 m → S 38.552462°
W 44.044189°		 →
↑
477.63 m
↓
↑
477.63 m
↓
S 38.556757°
W 44.049683°		 ← 477.68 m →
228 163 m²		 S 38.556757°
W 44.044189°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377647399902344 y=0.616233825683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377647399902344 × 216)
    floor (0.377647399902344 × 65536)
    floor (24749.5)     		tx = 24749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616233825683594 × 216)
    floor (0.616233825683594 × 65536)
    floor (40385.5)     		ty = 40385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24749 / 40385 ti = "16/24749/40385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24749/40385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24749 ÷ 216
    24749 ÷ 65536     		x = 0.377639770507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40385 ÷ 216
    40385 ÷ 65536     		y = 0.616226196289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377639770507812 × 2 - 1) × π
    -0.244720458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76881200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.616226196289062 × 2 - 1) × π
    -0.232452392578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.730270728811935
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76881200} λ = -0.76881200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.730270728811935))-π/2
    2×atan(0.481778541100801)-π/2
    2×0.448964470198426-π/2
    0.897928940396853-1.57079632675     		φ = -0.67286739
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76881200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.049683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67286739 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.552462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24749 KachelY 40385 -0.76881200 -0.67286739 -44.049683 -38.552462
    Oben rechts KachelX + 1 24750 KachelY 40385 -0.76871612 -0.67286739 -44.044189 -38.552462
    Unten links KachelX 24749 KachelY + 1 40386 -0.76881200 -0.67294236 -44.049683 -38.556757
    Unten rechts KachelX + 1 24750 KachelY + 1 40386 -0.76871612 -0.67294236 -44.044189 -38.556757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67286739--0.67294236) × R
    7.49700000000075e-05 × 6371000     		dl = 477.633870000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67286739--0.67294236) × R
    7.49700000000075e-05 × 6371000     		dr = 477.633870000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76881200--0.76871612) × cos(-0.67286739) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.782037837052056 × 6371000     		do = 477.708970179487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76881200--0.76871612) × cos(-0.67294236) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.781991111229793 × 6371000     		du = 477.680427641804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67286739)-sin(-0.67294236))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.782037837052056-0.781991111229793)×R²
    abs(-0.76871612--0.76881200)×4.67258222633937e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.67258222633937e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.67258222633937e-05×40589641000000     		ar = 228163.167825789m²