Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24749 / 40383
↖ ↑ ↗
← S 38.543869°
W 44.049683°		 ← 477.77 m → S 38.543869°
W 44.044189°		 →
↑
477.76 m
↓
↑
477.76 m
↓
S 38.548166°
W 44.049683°		 ← 477.74 m →
228 251 m²		 S 38.548166°
W 44.044189°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377647399902344 y=0.616203308105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377647399902344 × 216)
    floor (0.377647399902344 × 65536)
    floor (24749.5)     		tx = 24749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616203308105469 × 216)
    floor (0.616203308105469 × 65536)
    floor (40383.5)     		ty = 40383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24749 / 40383 ti = "16/24749/40383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24749/40383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24749 ÷ 216
    24749 ÷ 65536     		x = 0.377639770507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40383 ÷ 216
    40383 ÷ 65536     		y = 0.616195678710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377639770507812 × 2 - 1) × π
    -0.244720458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76881200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.616195678710938 × 2 - 1) × π
    -0.232391357421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.730078981213455
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76881200} λ = -0.76881200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.730078981213455))-π/2
    2×atan(0.481870929836432)-π/2
    2×0.449039451617113-π/2
    0.898078903234226-1.57079632675     		φ = -0.67271742
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76881200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.049683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67271742 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.543869°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24749 KachelY 40383 -0.76881200 -0.67271742 -44.049683 -38.543869
    Oben rechts KachelX + 1 24750 KachelY 40383 -0.76871612 -0.67271742 -44.044189 -38.543869
    Unten links KachelX 24749 KachelY + 1 40384 -0.76881200 -0.67279241 -44.049683 -38.548166
    Unten rechts KachelX + 1 24750 KachelY + 1 40384 -0.76871612 -0.67279241 -44.044189 -38.548166
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67271742--0.67279241) × R
    7.4989999999997e-05 × 6371000     		dl = 477.761289999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67271742--0.67279241) × R
    7.4989999999997e-05 × 6371000     		dr = 477.761289999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76881200--0.76871612) × cos(-0.67271742) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.782131294203398 × 6371000     		do = 477.766058618701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76881200--0.76871612) × cos(-0.67279241) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.782084564710599 × 6371000     		du = 477.737513838865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67271742)-sin(-0.67279241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.782131294203398-0.782084564710599)×R²
    abs(-0.76871612--0.76881200)×4.67294927991579e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.67294927991579e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.67294927991579e-05×40589641000000     		ar = 228251.309795053m²