Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24749 / 40375
↖ ↑ ↗
← S 38.509490°
W 44.049683°		 ← 477.99 m → S 38.509490°
W 44.044189°		 →
↑
477.95 m
↓
↑
477.95 m
↓
S 38.513788°
W 44.049683°		 ← 477.97 m →
228 452 m²		 S 38.513788°
W 44.044189°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377647399902344 y=0.616081237792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377647399902344 × 216)
    floor (0.377647399902344 × 65536)
    floor (24749.5)     		tx = 24749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616081237792969 × 216)
    floor (0.616081237792969 × 65536)
    floor (40375.5)     		ty = 40375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24749 / 40375 ti = "16/24749/40375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24749/40375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24749 ÷ 216
    24749 ÷ 65536     		x = 0.377639770507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40375 ÷ 216
    40375 ÷ 65536     		y = 0.616073608398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377639770507812 × 2 - 1) × π
    -0.244720458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76881200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.616073608398438 × 2 - 1) × π
    -0.232147216796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.729311990819534
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76881200} λ = -0.76881200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.729311990819534))-π/2
    2×atan(0.482240661983104)-π/2
    2×0.449339466879251-π/2
    0.898678933758502-1.57079632675     		φ = -0.67211739
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76881200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.049683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67211739 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.509490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24749 KachelY 40375 -0.76881200 -0.67211739 -44.049683 -38.509490
    Oben rechts KachelX + 1 24750 KachelY 40375 -0.76871612 -0.67211739 -44.044189 -38.509490
    Unten links KachelX 24749 KachelY + 1 40376 -0.76881200 -0.67219241 -44.049683 -38.513788
    Unten rechts KachelX + 1 24750 KachelY + 1 40376 -0.76871612 -0.67219241 -44.044189 -38.513788
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67211739--0.67219241) × R
    7.50199999999257e-05 × 6371000     		dl = 477.952419999527m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67211739--0.67219241) × R
    7.50199999999257e-05 × 6371000     		dr = 477.952419999527m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76881200--0.76871612) × cos(-0.67211739) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.78250504027524 × 6371000     		do = 477.99436195983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76881200--0.76871612) × cos(-0.67219241) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.782458327301687 × 6371000     		du = 477.9658272708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67211739)-sin(-0.67219241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.78250504027524-0.782458327301687)×R²
    abs(-0.76871612--0.76881200)×4.67129735535199e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.67129735535199e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.67129735535199e-05×40589641000000     		ar = 228451.743040426m²