Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24747 / 25101
↖ ↑ ↗
← S 68.708476°
E 91.878662°		 ← 443.57 m → S 68.708476°
E 91.889648°		 →
↑
443.55 m
↓
↑
443.55 m
↓
S 68.712465°
E 91.878662°		 ← 443.49 m →
196 728 m²		 S 68.712465°
E 91.889648°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24747 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.755233764648438 y=0.766036987304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.755233764648438 × 215)
    floor (0.755233764648438 × 32768)
    floor (24747.5)     		tx = 24747
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766036987304688 × 215)
    floor (0.766036987304688 × 32768)
    floor (25101.5)     		ty = 25101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24747 / 25101 ti = "15/24747/25101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24747/25101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24747 ÷ 215
    24747 ÷ 32768     		x = 0.755218505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25101 ÷ 215
    25101 ÷ 32768     		y = 0.766021728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.755218505859375 × 2 - 1) × π
    0.51043701171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.60358517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766021728515625 × 2 - 1) × π
    -0.53204345703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.67146381595212
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60358517} λ = 1.60358517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67146381595212))-π/2
    2×atan(0.187971708166624)-π/2
    2×0.185803598922108-π/2
    0.371607197844215-1.57079632675     		φ = -1.19918913
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60358517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.878662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19918913 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.708476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24747 KachelY 25101 1.60358517 -1.19918913 91.878662 -68.708476
    Oben rechts KachelX + 1 24748 KachelY 25101 1.60377691 -1.19918913 91.889648 -68.708476
    Unten links KachelX 24747 KachelY + 1 25102 1.60358517 -1.19925875 91.878662 -68.712465
    Unten rechts KachelX + 1 24748 KachelY + 1 25102 1.60377691 -1.19925875 91.889648 -68.712465
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19918913--1.19925875) × R
    6.96200000001035e-05 × 6371000     		dl = 443.549020000659m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19918913--1.19925875) × R
    6.96200000001035e-05 × 6371000     		dr = 443.549020000659m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60358517-1.60377691) × cos(-1.19918913) × R
    0.000191740000000218 × 0.363113397800546 × 6371000     		do = 443.570444999941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60358517-1.60377691) × cos(-1.19925875) × R
    0.000191740000000218 × 0.363048528836867 × 6371000     		du = 443.491202660605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19918913)-sin(-1.19925875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363113397800546-0.363048528836867)×R²
    abs(1.60377691-1.60358517)×6.48689636789657e-05×R²
    0.000191740000000218×6.48689636789657e-05×6371000²
    0.000191740000000218×6.48689636789657e-05×40589641000000     		ar = 196727.662329375m²