Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24743 / 40322
↖ ↑ ↗
← S 38.281313°
W 44.082642°		 ← 479.46 m → S 38.281313°
W 44.077149°		 →
↑
479.42 m
↓
↑
479.42 m
↓
S 38.285625°
W 44.082642°		 ← 479.43 m →
229 853 m²		 S 38.285625°
W 44.077149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377555847167969 y=0.615272521972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377555847167969 × 216)
    floor (0.377555847167969 × 65536)
    floor (24743.5)     		tx = 24743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615272521972656 × 216)
    floor (0.615272521972656 × 65536)
    floor (40322.5)     		ty = 40322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24743 / 40322 ti = "16/24743/40322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24743/40322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24743 ÷ 216
    24743 ÷ 65536     		x = 0.377548217773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40322 ÷ 216
    40322 ÷ 65536     		y = 0.615264892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377548217773438 × 2 - 1) × π
    -0.244903564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.76938724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.615264892578125 × 2 - 1) × π
    -0.23052978515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.724230679459808
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76938724} λ = -0.76938724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.724230679459808))-π/2
    2×atan(0.48469731315588)-π/2
    2×0.45133068579591-π/2
    0.902661371591819-1.57079632675     		φ = -0.66813496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76938724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.082642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66813496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.281313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24743 KachelY 40322 -0.76938724 -0.66813496 -44.082642 -38.281313
    Oben rechts KachelX + 1 24744 KachelY 40322 -0.76929137 -0.66813496 -44.077149 -38.281313
    Unten links KachelX 24743 KachelY + 1 40323 -0.76938724 -0.66821021 -44.082642 -38.285625
    Unten rechts KachelX + 1 24744 KachelY + 1 40323 -0.76929137 -0.66821021 -44.077149 -38.285625
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66813496--0.66821021) × R
    7.52499999999712e-05 × 6371000     		dl = 479.417749999816m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66813496--0.66821021) × R
    7.52499999999712e-05 × 6371000     		dr = 479.417749999816m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76938724--0.76929137) × cos(-0.66813496) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.784978465702555 × 6371000     		do = 479.455246564475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76938724--0.76929137) × cos(-0.66821021) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.784931844370659 × 6371000     		du = 479.426770825131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66813496)-sin(-0.66821021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.784978465702555-0.784931844370659)×R²
    abs(-0.76929137--0.76938724)×4.66213318967013e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.66213318967013e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.66213318967013e-05×40589641000000     		ar = 229852.529754772m²