Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24742 / 40379
↖ ↑ ↗
← S 38.526681°
W 44.088135°		 ← 477.83 m → S 38.526681°
W 44.082642°		 →
↑
477.89 m
↓
↑
477.89 m
↓
S 38.530979°
W 44.088135°		 ← 477.80 m →
228 343 m²		 S 38.530979°
W 44.082642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40379 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377540588378906 y=0.616142272949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377540588378906 × 216)
    floor (0.377540588378906 × 65536)
    floor (24742.5)     		tx = 24742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616142272949219 × 216)
    floor (0.616142272949219 × 65536)
    floor (40379.5)     		ty = 40379
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24742 / 40379 ti = "16/24742/40379"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24742/40379.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24742 ÷ 216
    24742 ÷ 65536     		x = 0.377532958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40379 ÷ 216
    40379 ÷ 65536     		y = 0.616134643554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377532958984375 × 2 - 1) × π
    -0.24493408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.76948311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.616134643554688 × 2 - 1) × π
    -0.232269287109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.729695486016495
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76948311} λ = -0.76948311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.729695486016495))-π/2
    2×atan(0.482055760462143)-π/2
    2×0.449189441331938-π/2
    0.898378882663875-1.57079632675     		φ = -0.67241744
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76948311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.088135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67241744 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.526681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24742 KachelY 40379 -0.76948311 -0.67241744 -44.088135 -38.526681
    Oben rechts KachelX + 1 24743 KachelY 40379 -0.76938724 -0.67241744 -44.082642 -38.526681
    Unten links KachelX 24742 KachelY + 1 40380 -0.76948311 -0.67249245 -44.088135 -38.530979
    Unten rechts KachelX + 1 24743 KachelY + 1 40380 -0.76938724 -0.67249245 -44.082642 -38.530979
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67241744--0.67249245) × R
    7.50099999999865e-05 × 6371000     		dl = 477.888709999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67241744--0.67249245) × R
    7.50099999999865e-05 × 6371000     		dr = 477.888709999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76948311--0.76938724) × cos(-0.67241744) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.782318180646393 × 6371000     		do = 477.830376987457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76948311--0.76938724) × cos(-0.67249245) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.782271456290852 × 6371000     		du = 477.801838322532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67241744)-sin(-0.67249245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.782318180646393-0.782271456290852)×R²
    abs(-0.76938724--0.76948311)×4.67243555414276e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67243555414276e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67243555414276e-05×40589641000000     		ar = 228342.923411421m²