Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24738 / 40314
↖ ↑ ↗
← S 38.246809°
W 44.110108°		 ← 479.73 m → S 38.246809°
W 44.104614°		 →
↑
479.67 m
↓
↑
479.67 m
↓
S 38.251122°
W 44.110108°		 ← 479.70 m →
230 108 m²		 S 38.251122°
W 44.104614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377479553222656 y=0.615150451660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377479553222656 × 216)
    floor (0.377479553222656 × 65536)
    floor (24738.5)     		tx = 24738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615150451660156 × 216)
    floor (0.615150451660156 × 65536)
    floor (40314.5)     		ty = 40314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24738 / 40314 ti = "16/24738/40314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24738/40314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24738 ÷ 216
    24738 ÷ 65536     		x = 0.377471923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40314 ÷ 216
    40314 ÷ 65536     		y = 0.615142822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377471923828125 × 2 - 1) × π
    -0.24505615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76986661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.615142822265625 × 2 - 1) × π
    -0.23028564453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.723463689065887
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76986661} λ = -0.76986661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.723463689065887))-π/2
    2×atan(0.485069213942964)-π/2
    2×0.451631792782741-π/2
    0.903263585565481-1.57079632675     		φ = -0.66753274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76986661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.110108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66753274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.246809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24738 KachelY 40314 -0.76986661 -0.66753274 -44.110108 -38.246809
    Oben rechts KachelX + 1 24739 KachelY 40314 -0.76977073 -0.66753274 -44.104614 -38.246809
    Unten links KachelX 24738 KachelY + 1 40315 -0.76986661 -0.66760803 -44.110108 -38.251122
    Unten rechts KachelX + 1 24739 KachelY + 1 40315 -0.76977073 -0.66760803 -44.104614 -38.251122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66753274--0.66760803) × R
    7.52900000000611e-05 × 6371000     		dl = 479.67259000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66753274--0.66760803) × R
    7.52900000000611e-05 × 6371000     		dr = 479.67259000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76986661--0.76977073) × cos(-0.66753274) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.785351412506996 × 6371000     		do = 479.73307265023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76986661--0.76977073) × cos(-0.66760803) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.785304801991035 × 6371000     		du = 479.704600547571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66753274)-sin(-0.66760803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.785351412506996-0.785304801991035)×R²
    abs(-0.76977073--0.76986661)×4.66105159616648e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.66105159616648e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.66105159616648e-05×40589641000000     		ar = 230107.976932143m²