Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24731 / 40363
↖ ↑ ↗
← S 38.457890°
W 44.148559°		 ← 478.29 m → S 38.457890°
W 44.143066°		 →
↑
478.27 m
↓
↑
478.27 m
↓
S 38.462192°
W 44.148559°		 ← 478.26 m →
228 744 m²		 S 38.462192°
W 44.143066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377372741699219 y=0.615898132324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377372741699219 × 216)
    floor (0.377372741699219 × 65536)
    floor (24731.5)     		tx = 24731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615898132324219 × 216)
    floor (0.615898132324219 × 65536)
    floor (40363.5)     		ty = 40363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24731 / 40363 ti = "16/24731/40363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24731/40363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24731 ÷ 216
    24731 ÷ 65536     		x = 0.377365112304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40363 ÷ 216
    40363 ÷ 65536     		y = 0.615890502929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377365112304688 × 2 - 1) × π
    -0.245269775390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.77053772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.615890502929688 × 2 - 1) × π
    -0.231781005859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.728161505228653
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77053772} λ = -0.77053772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.728161505228653))-π/2
    2×atan(0.482795792189472)-π/2
    2×0.449789758466554-π/2
    0.899579516933109-1.57079632675     		φ = -0.67121681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77053772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.148559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67121681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.457890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24731 KachelY 40363 -0.77053772 -0.67121681 -44.148559 -38.457890
    Oben rechts KachelX + 1 24732 KachelY 40363 -0.77044185 -0.67121681 -44.143066 -38.457890
    Unten links KachelX 24731 KachelY + 1 40364 -0.77053772 -0.67129188 -44.148559 -38.462192
    Unten rechts KachelX + 1 24732 KachelY + 1 40364 -0.77044185 -0.67129188 -44.143066 -38.462192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67121681--0.67129188) × R
    7.50699999999549e-05 × 6371000     		dl = 478.270969999713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67121681--0.67129188) × R
    7.50699999999549e-05 × 6371000     		dr = 478.270969999713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77053772--0.77044185) × cos(-0.67121681) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.783065463834906 × 6371000     		do = 478.286808419727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77053772--0.77044185) × cos(-0.67129188) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.783018772646031 × 6371000     		du = 478.258290012596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67121681)-sin(-0.67129188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.783065463834906-0.783018772646031)×R²
    abs(-0.77044185--0.77053772)×4.66911888747923e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.66911888747923e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.66911888747923e-05×40589641000000     		ar = 228743.876145411m²