Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24729 / 40402
↖ ↑ ↗
← S 38.625454°
W 44.159546°		 ← 477.17 m → S 38.625454°
W 44.154053°		 →
↑
477.19 m
↓
↑
477.19 m
↓
S 38.629746°
W 44.159546°		 ← 477.15 m →
227 695 m²		 S 38.629746°
W 44.154053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377342224121094 y=0.616493225097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377342224121094 × 216)
    floor (0.377342224121094 × 65536)
    floor (24729.5)     		tx = 24729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616493225097656 × 216)
    floor (0.616493225097656 × 65536)
    floor (40402.5)     		ty = 40402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24729 / 40402 ti = "16/24729/40402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24729/40402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24729 ÷ 216
    24729 ÷ 65536     		x = 0.377334594726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40402 ÷ 216
    40402 ÷ 65536     		y = 0.616485595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377334594726562 × 2 - 1) × π
    -0.245330810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77072947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.616485595703125 × 2 - 1) × π
    -0.23297119140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.731900583399017
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77072947} λ = -0.77072947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.731900583399017))-π/2
    2×atan(0.480993951692637)-π/2
    2×0.448327489960366-π/2
    0.896654979920733-1.57079632675     		φ = -0.67414135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77072947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.159546°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67414135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.625454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24729 KachelY 40402 -0.77072947 -0.67414135 -44.159546 -38.625454
    Oben rechts KachelX + 1 24730 KachelY 40402 -0.77063360 -0.67414135 -44.154053 -38.625454
    Unten links KachelX 24729 KachelY + 1 40403 -0.77072947 -0.67421625 -44.159546 -38.629746
    Unten rechts KachelX + 1 24730 KachelY + 1 40403 -0.77063360 -0.67421625 -44.154053 -38.629746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67414135--0.67421625) × R
    7.48999999999889e-05 × 6371000     		dl = 477.187899999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67414135--0.67421625) × R
    7.48999999999889e-05 × 6371000     		dr = 477.187899999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77072947--0.77063360) × cos(-0.67414135) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.781243231347798 × 6371000     		do = 477.173811102505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77072947--0.77063360) × cos(-0.67421625) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.781196474574192 × 6371000     		du = 477.145252637022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67414135)-sin(-0.67421625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.781243231347798-0.781196474574192)×R²
    abs(-0.77063360--0.77072947)×4.67567736059937e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67567736059937e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67567736059937e-05×40589641000000     		ar = 227694.755084324m²