Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24728 / 40339
↖ ↑ ↗
← S 38.354580°
W 44.165039°		 ← 479.02 m → S 38.354580°
W 44.159546°		 →
↑
478.97 m
↓
↑
478.97 m
↓
S 38.358888°
W 44.165039°		 ← 478.99 m →
229 431 m²		 S 38.358888°
W 44.159546°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377326965332031 y=0.615531921386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377326965332031 × 216)
    floor (0.377326965332031 × 65536)
    floor (24728.5)     		tx = 24728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615531921386719 × 216)
    floor (0.615531921386719 × 65536)
    floor (40339.5)     		ty = 40339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24728 / 40339 ti = "16/24728/40339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24728/40339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24728 ÷ 216
    24728 ÷ 65536     		x = 0.3773193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40339 ÷ 216
    40339 ÷ 65536     		y = 0.615524291992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3773193359375 × 2 - 1) × π
    -0.245361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77082535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.615524291992188 × 2 - 1) × π
    -0.231048583984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.72586053404689
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77082535} λ = -0.77082535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.72586053404689))-π/2
    2×atan(0.483907970448339)-π/2
    2×0.450691308445691-π/2
    0.901382616891383-1.57079632675     		φ = -0.66941371
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77082535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.165039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66941371 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.354580°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24728 KachelY 40339 -0.77082535 -0.66941371 -44.165039 -38.354580
    Oben rechts KachelX + 1 24729 KachelY 40339 -0.77072947 -0.66941371 -44.159546 -38.354580
    Unten links KachelX 24728 KachelY + 1 40340 -0.77082535 -0.66948889 -44.165039 -38.358888
    Unten rechts KachelX + 1 24729 KachelY + 1 40340 -0.77072947 -0.66948889 -44.159546 -38.358888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66941371--0.66948889) × R
    7.51799999999525e-05 × 6371000     		dl = 478.971779999697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66941371--0.66948889) × R
    7.51799999999525e-05 × 6371000     		dr = 478.971779999697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77082535--0.77072947) × cos(-0.66941371) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.784185609020487 × 6371000     		do = 479.020939864552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77082535--0.77072947) × cos(-0.66948889) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.784138955634655 × 6371000     		du = 478.992441574769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66941371)-sin(-0.66948889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.784185609020487-0.784138955634655)×R²
    abs(-0.77072947--0.77082535)×4.66533858320961e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.66533858320961e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.66533858320961e-05×40589641000000     		ar = 229430.687394025m²