Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24725 / 40306
↖ ↑ ↗
← S 38.212288°
W 44.181519°		 ← 479.96 m → S 38.212288°
W 44.176025°		 →
↑
479.93 m
↓
↑
479.93 m
↓
S 38.216604°
W 44.181519°		 ← 479.93 m →
230 340 m²		 S 38.216604°
W 44.176025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377281188964844 y=0.615028381347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377281188964844 × 216)
    floor (0.377281188964844 × 65536)
    floor (24725.5)     		tx = 24725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615028381347656 × 216)
    floor (0.615028381347656 × 65536)
    floor (40306.5)     		ty = 40306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24725 / 40306 ti = "16/24725/40306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24725/40306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24725 ÷ 216
    24725 ÷ 65536     		x = 0.377273559570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40306 ÷ 216
    40306 ÷ 65536     		y = 0.615020751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377273559570312 × 2 - 1) × π
    -0.245452880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77111297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.615020751953125 × 2 - 1) × π
    -0.23004150390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.722696698671967
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77111297} λ = -0.77111297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.722696698671967))-π/2
    2×atan(0.485441400083796)-π/2
    2×0.451933042770778-π/2
    0.903866085541555-1.57079632675     		φ = -0.66693024
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77111297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.181519°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66693024 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.212288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24725 KachelY 40306 -0.77111297 -0.66693024 -44.181519 -38.212288
    Oben rechts KachelX + 1 24726 KachelY 40306 -0.77101709 -0.66693024 -44.176025 -38.212288
    Unten links KachelX 24725 KachelY + 1 40307 -0.77111297 -0.66700557 -44.181519 -38.216604
    Unten rechts KachelX + 1 24726 KachelY + 1 40307 -0.77101709 -0.66700557 -44.176025 -38.216604
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66693024--0.66700557) × R
    7.53300000000401e-05 × 6371000     		dl = 479.927430000255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66693024--0.66700557) × R
    7.53300000000401e-05 × 6371000     		dr = 479.927430000255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77111297--0.77101709) × cos(-0.66693024) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.785724247690459 × 6371000     		do = 479.960819573845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77111297--0.77101709) × cos(-0.66700557) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.785677648061742 × 6371000     		du = 479.932354121675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66693024)-sin(-0.66700557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.785724247690459-0.785677648061742)×R²
    abs(-0.77101709--0.77111297)×4.65996287170034e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.65996287170034e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.65996287170034e-05×40589641000000     		ar = 230339.532071856m²