Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24723 / 40299
↖ ↑ ↗
← S 38.182069°
W 44.192505°		 ← 480.11 m → S 38.182069°
W 44.187012°		 →
↑
480.12 m
↓
↑
480.12 m
↓
S 38.186387°
W 44.192505°		 ← 480.08 m →
230 503 m²		 S 38.186387°
W 44.187012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377250671386719 y=0.614921569824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377250671386719 × 216)
    floor (0.377250671386719 × 65536)
    floor (24723.5)     		tx = 24723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614921569824219 × 216)
    floor (0.614921569824219 × 65536)
    floor (40299.5)     		ty = 40299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24723 / 40299 ti = "16/24723/40299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24723/40299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24723 ÷ 216
    24723 ÷ 65536     		x = 0.377243041992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40299 ÷ 216
    40299 ÷ 65536     		y = 0.614913940429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377243041992188 × 2 - 1) × π
    -0.245513916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.77130471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614913940429688 × 2 - 1) × π
    -0.229827880859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.722025582077286
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77130471} λ = -0.77130471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.722025582077286))-π/2
    2×atan(0.48576729720839)-π/2
    2×0.452196753783372-π/2
    0.904393507566745-1.57079632675     		φ = -0.66640282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77130471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.192505°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66640282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.182069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24723 KachelY 40299 -0.77130471 -0.66640282 -44.192505 -38.182069
    Oben rechts KachelX + 1 24724 KachelY 40299 -0.77120884 -0.66640282 -44.187012 -38.182069
    Unten links KachelX 24723 KachelY + 1 40300 -0.77130471 -0.66647818 -44.192505 -38.186387
    Unten rechts KachelX + 1 24724 KachelY + 1 40300 -0.77120884 -0.66647818 -44.187012 -38.186387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66640282--0.66647818) × R
    7.53600000000798e-05 × 6371000     		dl = 480.118560000508m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66640282--0.66647818) × R
    7.53600000000798e-05 × 6371000     		dr = 480.118560000508m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77130471--0.77120884) × cos(-0.66640282) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.786050388231567 × 6371000     		do = 480.109963735582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77130471--0.77120884) × cos(-0.66647818) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.78600380127901 × 6371000     		du = 480.081508994719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66640282)-sin(-0.66647818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.786050388231567-0.78600380127901)×R²
    abs(-0.77120884--0.77130471)×4.65869525571039e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.65869525571039e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.65869525571039e-05×40589641000000     		ar = 230502.873715162m²