Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24722 / 40331
↖ ↑ ↗
← S 38.320111°
W 44.197998°		 ← 479.25 m → S 38.320111°
W 44.192505°		 →
↑
479.23 m
↓
↑
479.23 m
↓
S 38.324420°
W 44.197998°		 ← 479.22 m →
229 662 m²		 S 38.324420°
W 44.192505°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24722 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377235412597656 y=0.615409851074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377235412597656 × 216)
    floor (0.377235412597656 × 65536)
    floor (24722.5)     		tx = 24722
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615409851074219 × 216)
    floor (0.615409851074219 × 65536)
    floor (40331.5)     		ty = 40331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24722 / 40331 ti = "16/24722/40331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24722/40331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24722 ÷ 216
    24722 ÷ 65536     		x = 0.377227783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40331 ÷ 216
    40331 ÷ 65536     		y = 0.615402221679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377227783203125 × 2 - 1) × π
    -0.24554443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77140059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.615402221679688 × 2 - 1) × π
    -0.230804443359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.725093543652969
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77140059} λ = -0.77140059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.725093543652969))-π/2
    2×atan(0.484279265584914)-π/2
    2×0.450992111418226-π/2
    0.901984222836452-1.57079632675     		φ = -0.66881210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77140059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.197998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66881210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.320111°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24722 KachelY 40331 -0.77140059 -0.66881210 -44.197998 -38.320111
    Oben rechts KachelX + 1 24723 KachelY 40331 -0.77130471 -0.66881210 -44.192505 -38.320111
    Unten links KachelX 24722 KachelY + 1 40332 -0.77140059 -0.66888732 -44.197998 -38.324420
    Unten rechts KachelX + 1 24723 KachelY + 1 40332 -0.77130471 -0.66888732 -44.192505 -38.324420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66881210--0.66888732) × R
    7.52199999999315e-05 × 6371000     		dl = 479.226619999563m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66881210--0.66888732) × R
    7.52199999999315e-05 × 6371000     		dr = 479.226619999563m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77140059--0.77130471) × cos(-0.66881210) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.784558781933538 × 6371000     		do = 479.24889309134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77140059--0.77130471) × cos(-0.66888732) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.784512139218516 × 6371000     		du = 479.220401319837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66881210)-sin(-0.66888732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.784558781933538-0.784512139218516)×R²
    abs(-0.77130471--0.77140059)×4.66427150221937e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.66427150221937e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.66427150221937e-05×40589641000000     		ar = 229662.000275309m²